حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{\sin (3 x) - 3 x}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

خطوة 1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

خطوة 1.2.2

انقُل النهاية إلى الأُس.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

خطوة 1.2.3

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

خطوة 1.2.4

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

خطوة 1.2.5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

خطوة 1.2.5.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

خطوة 1.2.5.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

خطوة 1.2.5.2.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

خطوة 1.3.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

خطوة 1.3.3

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{\sin (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

خطوة 1.3.4

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{\sin (3 lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.3.5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{\sin (3 \cdot 0) - 3 lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.3.5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{\sin (3 \cdot 0) - 3 \cdot 0}$

خطوة 1.3.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1.1

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{0}{\sin (0) - 3 \cdot 0}$

خطوة 1.3.6.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{0 - 3 \cdot 0}$

خطوة 1.3.6.1.3

اضرب $- 3$ في $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

خطوة 1.3.6.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.6.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.7

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{\sin (3 x) - 3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{- x} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

خطوة 3.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

خطوة 3.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

خطوة 3.3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

خطوة 3.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

خطوة 3.3.5

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

خطوة 3.3.6

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

خطوة 3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

خطوة 3.5

أضف $- e^{- x}$ و $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (3 x) - 3 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

خطوة 3.7

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

خطوة 3.7.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

خطوة 3.7.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

خطوة 3.7.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

خطوة 3.7.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\cos (3 x) (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

خطوة 3.7.4

اضرب $3$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\cos (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

خطوة 3.7.5

انقُل $3$ إلى يسار $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

خطوة 3.8

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \cos (3 x) - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \cos (3 x) - 3 \cdot 1}$

خطوة 3.8.3

اضرب $- 3$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \cos (3 x) - 3}$

خطوة 3.9

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{- 3 + 3 \cos (3 x)}$

خطوة 4

Since the numerator is negative and the denominator $- 3 + 3 \cos (3 x)$ approaches zero and is less than zero for $x$ near $0$ on both sides, the function increases without bound.

$\infty$