حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} y + x y^{2} = 3 x$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y + x y^{2}) = \frac{d}{d y} (3 x)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} y + x y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = x^{2}$ و $g (y) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{2}$ و $g (y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

خطوة 2.2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

خطوة 2.2.5

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

خطوة 2.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = x$ و $g (y) = y^{2}$ .

$x^{2} + 2 y x x' + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} + 2 y x x' + x (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$x^{2} + 2 y x x' + x (2 y) + y^{2} x'$

خطوة 2.3.4

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' + 2 x y + y^{2} x'$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$x^{2} + 2 x y x' + 2 x y + y^{2} x'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$3 \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$3 x'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x^{2} + 2 x y x' + 2 x y + y^{2} x' = 3 x'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $3 x'$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} + 2 x y x' + 2 x y + y^{2} x' - 3 x' = 0$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$2 x y x' + 2 x y + y^{2} x' - 3 x' = - x^{2}$

خطوة 5.2.2

اطرح $2 x y$ من كلا المتعادلين.

$2 x y x' + y^{2} x' - 3 x' = - x^{2} - 2 x y$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $x'$ من $2 x y x' + y^{2} x' - 3 x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $x'$ من $2 x y x'$ .

$x' (2 x y) + y^{2} x' - 3 x' = - x^{2} - 2 x y$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $x'$ من $y^{2} x'$ .

$x' (2 x y) + x' (y^{2}) - 3 x' = - x^{2} - 2 x y$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $x'$ من $- 3 x'$ .

$x' (2 x y) + x' (y^{2}) + x' \cdot - 3 = - x^{2} - 2 x y$

خطوة 5.3.4

أخرِج العامل $x'$ من $x' (2 x y) + x' (y^{2})$ .

$x' (2 x y + y^{2}) + x' \cdot - 3 = - x^{2} - 2 x y$

خطوة 5.3.5

أخرِج العامل $x'$ من $x' (2 x y + y^{2}) + x' \cdot - 3$ .

$x' (2 x y + y^{2} - 3) = - x^{2} - 2 x y$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $x' (2 x y + y^{2} - 3) = - x^{2} - 2 x y$ على $2 x y + y^{2} - 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $x' (2 x y + y^{2} - 3) = - x^{2} - 2 x y$ على $2 x y + y^{2} - 3$ .

$\frac{x' (2 x y + y^{2} - 3)}{2 x y + y^{2} - 3} = \frac{- x^{2}}{2 x y + y^{2} - 3} + \frac{- 2 x y}{2 x y + y^{2} - 3}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x y + y^{2} - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' (2 x y + y^{2} - 3)}{2 x y + y^{2} - 3} = \frac{- x^{2}}{2 x y + y^{2} - 3} + \frac{- 2 x y}{2 x y + y^{2} - 3}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{- x^{2}}{2 x y + y^{2} - 3} + \frac{- 2 x y}{2 x y + y^{2} - 3}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x' = \frac{- x^{2} - 2 x y}{2 x y + y^{2} - 3}$

خطوة 5.4.3.2

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2} - 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2}$ .

$x' = \frac{x (- x) - 2 x y}{2 x y + y^{2} - 3}$

خطوة 5.4.3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $- 2 x y$ .

$x' = \frac{x (- x) + x (- 2 y)}{2 x y + y^{2} - 3}$

خطوة 5.4.3.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x (- x) + x (- 2 y)$ .

$x' = \frac{x (- x - 2 y)}{2 x y + y^{2} - 3}$

خطوة 5.4.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$x' = \frac{x (- (x) - 2 y)}{2 x y + y^{2} - 3}$

خطوة 5.4.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 y$ .

$x' = \frac{x (- (x) - (2 y))}{2 x y + y^{2} - 3}$

خطوة 5.4.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - (2 y)$ .

$x' = \frac{x (- (x + 2 y))}{2 x y + y^{2} - 3}$

خطوة 5.4.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.6.1

أعِد كتابة $- (x + 2 y)$ بالصيغة $- 1 (x + 2 y)$ .

$x' = \frac{x (- 1 (x + 2 y))}{2 x y + y^{2} - 3}$

خطوة 5.4.3.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$x' = - \frac{x (x + 2 y)}{2 x y + y^{2} - 3}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x (x + 2 y)}{2 x y + y^{2} - 3}$