حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \arctan (\sin (x^{2} - 6 x))$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (\sin (x^{2} - 6 x)))$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = \sin (x^{2} - 6 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (x^{2} - 6 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} - 6 x)]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\arctan (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} - 6 x)]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (x^{2} - 6 x)$ .

$\frac{1}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} - 6 x)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x^{2} - 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{2} - 6 x$ .

$\frac{1}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

خطوة 3.2.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{2} - 6 x$ .

$\frac{1}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (\cos (x^{2} - 6 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اجمع $\cos (x^{2} - 6 x)$ و $\frac{1}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$ .

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

خطوة 3.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 6 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

خطوة 3.3.4

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (2 x - 6 \cdot 1)$

خطوة 3.3.6

اضرب $- 6$ في $1$ .

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (2 x - 6)$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (2 x - 6)$ .

$(2 x - 6) \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

خطوة 3.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} - 6 \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

خطوة 3.4.3

اضرب $2 x \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اجمع $2$ و $\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$ .

$x \frac{2 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} - 6 \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

خطوة 3.4.3.2

اجمع $x$ و $\frac{2 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$ .

$\frac{x (2 \cos (x^{2} - 6 x))}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} - 6 \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

خطوة 3.4.4

اجمع $- 6$ و $\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$ .

$\frac{x (2 \cos (x^{2} - 6 x))}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} + \frac{- 6 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

خطوة 3.4.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{2 \cdot x \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} + \frac{- 6 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

خطوة 3.4.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2 x \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} - \frac{6 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

خطوة 3.4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 x \cos (x^{2} - 6 x) - 6 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

خطوة 3.4.7

أخرِج العامل $2 \cos (x^{2} - 6 x)$ من $2 x \cos (x^{2} - 6 x) - 6 \cos (x^{2} - 6 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1

أخرِج العامل $2 \cos (x^{2} - 6 x)$ من $2 x \cos (x^{2} - 6 x)$ .

$\frac{2 \cos (x^{2} - 6 x) (x) - 6 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

خطوة 3.4.7.2

أخرِج العامل $2 \cos (x^{2} - 6 x)$ من $- 6 \cos (x^{2} - 6 x)$ .

$\frac{2 \cos (x^{2} - 6 x) (x) + 2 \cos (x^{2} - 6 x) (- 3)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

خطوة 3.4.7.3

أخرِج العامل $2 \cos (x^{2} - 6 x)$ من $2 \cos (x^{2} - 6 x) (x) + 2 \cos (x^{2} - 6 x) (- 3)$ .

$\frac{2 \cos (x^{2} - 6 x) (x - 3)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{2 \cos (x^{2} - 6 x) (x - 3)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cos (x^{2} - 6 x) (x - 3)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$