حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$

خطوة 1

اكتب $\frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{5} x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.3

اجمع $5$ و $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.4

اجمع $\frac{5}{5}$ و $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.5.2

اقسِم $x^{4}$ على $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{4} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$x^{4} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$x^{4} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

خطوة 2.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} - 4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$x^{4} - 4 x^{3} - 12 (3 x^{2})$

خطوة 2.1.4.3

اضرب $3$ في $- 12$ .

$f' (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 36 x^{2}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - 4 x^{3} - 36 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

خطوة 2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

خطوة 2.2.2.3

اضرب $3$ في $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

خطوة 2.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $- 36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 36 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 36 (2 x)$

خطوة 2.2.3.3

اضرب $2$ في $- 36$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x = 0$

خطوة 3.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 12 x^{2} - 72 x = 0$

خطوة 3.2.1.2

أخرِج العامل $4 x$ من $- 12 x^{2}$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3 x) - 72 x = 0$

خطوة 3.2.1.3

أخرِج العامل $4 x$ من $- 72 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3 x) + 4 x (- 18) = 0$

خطوة 3.2.1.4

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x (x^{2}) + 4 x (- 3 x)$ .

$4 x (x^{2} - 3 x) + 4 x (- 18) = 0$

خطوة 3.2.1.5

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x (x^{2} - 3 x) + 4 x (- 18)$ .

$4 x (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

خطوة 3.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

حلّل $x^{2} - 3 x - 18$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 18$ ومجموعهما $- 3$ .

$- 6, 3$

خطوة 3.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$4 x ((x - 6) (x + 3)) = 0$

خطوة 3.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$4 x (x - 6) (x + 3) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 6 = 0$

خطوة 3.5.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 6$

خطوة 3.6

عيّن قيمة العبارة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

عيّن قيمة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 3.6.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 3.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $4 x (x - 6) (x + 3) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 6, - 3$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{1}{5} \cdot {(0)}^{5} - {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{1}{5} \cdot 0 - {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $\frac{1}{5}$ في $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

خطوة 4.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 - 0 - 12 {(0)}^{3}$

خطوة 4.1.2.1.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 {(0)}^{3}$

خطوة 4.1.2.1.5

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 0 - 12 \cdot 0$

خطوة 4.1.2.1.6

اضرب $- 12$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

خطوة 4.1.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

خطوة 4.1.2.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $6$ في $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f (6) = \frac{1}{5} \cdot {(6)}^{5} - {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $5$ .

$f (6) = \frac{1}{5} \cdot 7776 - {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.2

اجمع $\frac{1}{5}$ و $7776$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.3

ارفع $6$ إلى القوة $4$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1 \cdot 1296 - 12 {(6)}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1296$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1296 - 12 {(6)}^{3}$

خطوة 4.3.2.1.5

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1296 - 12 \cdot 216$

خطوة 4.3.2.1.6

اضرب $- 12$ في $216$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1296 - 2592$

خطوة 4.3.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

اكتب $- 1296$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296}{1} - 2592$

خطوة 4.3.2.2.2

اضرب $\frac{- 1296}{1}$ في $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296}{1} \cdot \frac{5}{5} - 2592$

خطوة 4.3.2.2.3

اضرب $\frac{- 1296}{1}$ في $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} - 2592$

خطوة 4.3.2.2.4

اكتب $- 2592$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} + \frac{- 2592}{1}$

خطوة 4.3.2.2.5

اضرب $\frac{- 2592}{1}$ في $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} + \frac{- 2592}{1} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 4.3.2.2.6

اضرب $\frac{- 2592}{1}$ في $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} + \frac{- 2592 \cdot 5}{5}$

خطوة 4.3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (6) = \frac{7776 - 1296 \cdot 5 - 2592 \cdot 5}{5}$

خطوة 4.3.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.4.1

اضرب $- 1296$ في $5$ .

$f (6) = \frac{7776 - 6480 - 2592 \cdot 5}{5}$

خطوة 4.3.2.4.2

اضرب $- 2592$ في $5$ .

$f (6) = \frac{7776 - 6480 - 12960}{5}$

خطوة 4.3.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

اطرح $6480$ من $7776$ .

$f (6) = \frac{1296 - 12960}{5}$

خطوة 4.3.2.5.2

اطرح $12960$ من $1296$ .

$f (6) = \frac{- 11664}{5}$

خطوة 4.3.2.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (6) = - \frac{11664}{5}$

خطوة 4.3.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{11664}{5}$ .

$- \frac{11664}{5}$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $6$ في $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ هي $(6, - \frac{11664}{5})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(6, - \frac{11664}{5})$

خطوة 4.5

عوّض بقيمة $- 3$ في $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f (- 3) = \frac{1}{5} \cdot {(- 3)}^{5} - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

خطوة 4.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $5$ .

$f (- 3) = \frac{1}{5} \cdot - 243 - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.2

اجمع $\frac{1}{5}$ و $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{5} - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.4

ارفع $- 3$ إلى القوة $4$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 1 \cdot 81 - 12 {(- 3)}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.5

اضرب $- 1$ في $81$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 81 - 12 {(- 3)}^{3}$

خطوة 4.5.2.1.6

ارفع $- 3$ إلى القوة $3$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 81 - 12 \cdot - 27$

خطوة 4.5.2.1.7

اضرب $- 12$ في $- 27$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 81 + 324$

خطوة 4.5.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.1

اكتب $- 81$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81}{1} + 324$

خطوة 4.5.2.2.2

اضرب $\frac{- 81}{1}$ في $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81}{1} \cdot \frac{5}{5} + 324$

خطوة 4.5.2.2.3

اضرب $\frac{- 81}{1}$ في $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + 324$

خطوة 4.5.2.2.4

اكتب $324$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + \frac{324}{1}$

خطوة 4.5.2.2.5

اضرب $\frac{324}{1}$ في $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + \frac{324}{1} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 4.5.2.2.6

اضرب $\frac{324}{1}$ في $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + \frac{324 \cdot 5}{5}$

خطوة 4.5.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- 3) = \frac{- 243 - 81 \cdot 5 + 324 \cdot 5}{5}$

خطوة 4.5.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.4.1

اضرب $- 81$ في $5$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 - 405 + 324 \cdot 5}{5}$

خطوة 4.5.2.4.2

اضرب $324$ في $5$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 - 405 + 1620}{5}$

خطوة 4.5.2.5

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.5.1

اطرح $405$ من $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 648 + 1620}{5}$

خطوة 4.5.2.5.2

أضف $- 648$ و $1620$ .

$f (- 3) = \frac{972}{5}$

خطوة 4.5.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{972}{5}$ .

$\frac{972}{5}$

خطوة 4.6

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 3$ في $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ هي $(- 3, \frac{972}{5})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 3, \frac{972}{5})$

خطوة 4.7

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (6, - \frac{11664}{5}), (- 3, \frac{972}{5})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 3)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3.1$ في العبارة.

$f'' (- 3.1) = 4 {(- 3.1)}^{3} - 12 {(- 3.1)}^{2} - 72 \cdot - 3.1$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 3.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 3.1) = 4 \cdot - 29.791 - 12 {(- 3.1)}^{2} - 72 \cdot - 3.1$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $4$ في $- 29.791$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 12 {(- 3.1)}^{2} - 72 \cdot - 3.1$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 3.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 12 \cdot 9.61 - 72 \cdot - 3.1$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $- 12$ في $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 115.32 - 72 \cdot - 3.1$

خطوة 6.2.1.5

اضرب $- 72$ في $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 115.32 + 223.2$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $115.32$ من $- 119.164$ .

$f'' (- 3.1) = - 234.484 + 223.2$

خطوة 6.2.2.2

أضف $- 234.484$ و $223.2$ .

$f'' (- 3.1) = - 11.284$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 11.284$ .

$- 11.284$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 3.1$ يساوي $- 11.284$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - 3)$

تناقص خلال $(- \infty, - 3)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 3, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{3}{2}$ في العبارة.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{27}{2^{3}}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{27}{8}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{27}{8}$ إلى بسط الكسر.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{8}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.5.2

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{4 (2)}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27}{2} - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.7

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.7.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - 72 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.7.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 72 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.8

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 72 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.9

اضرب $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 72 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.10

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 \frac{9}{2^{2}} - 72 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.11

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 (\frac{9}{4}) - 72 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.12

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.12.1

أخرِج العامل $4$ من $- 12$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 4 (- 3) (\frac{9}{4}) - 72 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.12.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 4 \cdot (- 3 (\frac{9}{4})) - 72 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.12.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 3 \cdot 9 - 72 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.13

اضرب $- 3$ في $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 - 72 (- \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.1.14

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.14.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 - 72 (\frac{- 3}{2})$

خطوة 7.2.1.14.2

أخرِج العامل $2$ من $- 72$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 + 2 (- 36) (\frac{- 3}{2})$

خطوة 7.2.1.14.3

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 + 2 \cdot (- 36 (\frac{- 3}{2}))$

خطوة 7.2.1.14.4

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 - 36 \cdot - 3$

خطوة 7.2.1.15

اضرب $- 36$ في $- 3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 + 108$

خطوة 7.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اكتب $- 27$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} + 108$

خطوة 7.2.2.2

اضرب $\frac{- 27}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} \cdot \frac{2}{2} + 108$

خطوة 7.2.2.3

اضرب $\frac{- 27}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + 108$

خطوة 7.2.2.4

اكتب $108$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{108}{1}$

خطوة 7.2.2.5

اضرب $\frac{108}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{108}{1} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 7.2.2.6

اضرب $\frac{108}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{108 \cdot 2}{2}$

خطوة 7.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 27 \cdot 2 + 108 \cdot 2}{2}$

خطوة 7.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

اضرب $- 27$ في $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 54 + 108 \cdot 2}{2}$

خطوة 7.2.4.2

اضرب $108$ في $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 54 + 216}{2}$

خطوة 7.2.5

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1

اطرح $54$ من $- 27$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 81 + 216}{2}$

خطوة 7.2.5.2

أضف $- 81$ و $216$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{135}{2}$

خطوة 7.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{135}{2}$ .

$\frac{135}{2}$

خطوة 7.3

في $- \frac{3}{2}$ ، المشتق الثاني هو $67.5$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 3, 0)$ .

تزايد خلال $(- 3, 0)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 6)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f'' (3) = 4 {(3)}^{3} - 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f'' (3) = 4 \cdot 27 - 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $4$ في $27$ .

$f'' (3) = 108 - 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f'' (3) = 108 - 12 \cdot 9 - 72 \cdot 3$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $- 12$ في $9$ .

$f'' (3) = 108 - 108 - 72 \cdot 3$

خطوة 8.2.1.5

اضرب $- 72$ في $3$ .

$f'' (3) = 108 - 108 - 216$

خطوة 8.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اطرح $108$ من $108$ .

$f'' (3) = 0 - 216$

خطوة 8.2.2.2

اطرح $216$ من $0$ .

$f'' (3) = - 216$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $- 216$ .

$- 216$

خطوة 8.3

المشتق الثاني عند $3$ يساوي $- 216$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(0, 6)$

تناقص خلال $(0, 6)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(6, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6.1$ في العبارة.

$f'' (6.1) = 4 {(6.1)}^{3} - 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

ارفع $6.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (6.1) = 4 \cdot 226.981 - 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

خطوة 9.2.1.2

اضرب $4$ في $226.981$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

خطوة 9.2.1.3

ارفع $6.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 12 \cdot 37.21 - 72 \cdot 6.1$

خطوة 9.2.1.4

اضرب $- 12$ في $37.21$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 446.52 - 72 \cdot 6.1$

خطوة 9.2.1.5

اضرب $- 72$ في $6.1$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 446.52 - 439.2$

خطوة 9.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

اطرح $446.52$ من $907.924$ .

$f'' (6.1) = 461.404 - 439.2$

خطوة 9.2.2.2

اطرح $439.2$ من $461.404$ .

$f'' (6.1) = 22.204$

خطوة 9.2.3

الإجابة النهائية هي $22.204$ .

$22.204$

خطوة 9.3

في $6.1$ ، المشتق الثاني هو $22.204$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(6, \infty)$ .

تزايد خلال $(6, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 10

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 3, \frac{972}{5}), (0, 0), (6, - \frac{11664}{5})$ .

$(- 3, \frac{972}{5}), (0, 0), (6, - \frac{11664}{5})$

خطوة 11