حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} (x^{2} + 1) e^{- x} d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{2} + 1$ و $d v = e^{- x}$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} (2 x) d x$

خطوة 2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - 2 e^{- x} x d x$

خطوة 3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} - (- 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x)$

خطوة 4

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{- x}$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} d x)$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

خطوة 7.2

اضرب $\int_{0}^{1} e^{- x} d x$ في $1$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

خطوة 8

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 8.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 8.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 8.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

خطوة 8.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 8.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

خطوة 8.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$u_{upper} = - 1$

خطوة 8.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

خطوة 8.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u)$

خطوة 10

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

خطوة 11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احسِب قيمة $(x^{2} + 1) (- e^{- x})$ في $1$ وفي $0$ .

$((1^{2} + 1) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

خطوة 11.2

احسِب قيمة $x (- e^{- x})$ في $1$ وفي $0$ .

$((1^{2} + 1) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- 1$ وفي $0$ .

$((1^{2} + 1) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

خطوة 11.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$(1 + 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

خطوة 11.5

أضف $1$ و $1$ .

$2 (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

خطوة 11.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 (- e^{- 1}) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

خطوة 11.7

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 e^{- 1} - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

خطوة 11.8

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- 2 e^{- 1} - (0 + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

خطوة 11.9

أضف $0$ و $1$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 \cdot 1 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

خطوة 11.10

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

خطوة 11.11

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 (- e^{0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

خطوة 11.12

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 (- 1 \cdot 1) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

خطوة 11.13

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 \cdot - 1 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

خطوة 11.14

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

خطوة 11.15

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.15.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (1 (- e^{- 1}) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

خطوة 11.15.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

خطوة 11.15.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

خطوة 11.16

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

خطوة 11.17

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 \cdot - 1 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

خطوة 11.18

اضرب $0$ في $- 1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

خطوة 11.19

أضف $- e^{- 1}$ و $0$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

خطوة 11.20

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1 \cdot 1))$

خطوة 11.21

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

الصيغة العشرية:

$0.79272335 \dots$