حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 8^{2 y^{3} - 3 y^{2}} (y^{2} - y) d y$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 2 y^{3} - 3 y^{2}$ . إذن $d u = (6 y^{2} - 6 y) d y$ ، لذا $\frac{1}{6} d u = (y^{2} - y) d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 2 y^{3} - 3 y^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 y^{3} - 3 y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{3} - 3 y^{2}]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 y^{3} - 3 y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $2$ .

$6 y^{2} + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 3 y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$6 y^{2} - 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 y^{2} - 3 (2 y)$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $2$ في $- 3$ .

$6 y^{2} - 6 y$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int 8^{u} \frac{1}{6} d u$

خطوة 2

اجمع $8^{u}$ و $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{8^{u}}{6} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{6} \int 8^{u} d u$

خطوة 4

تكامل $8^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{8^{u}}{\ln (8)}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{8^{u}}{\ln (8)} + C)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $\frac{1}{6} (\frac{8^{u}}{\ln (8)} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\ln (8)} \cdot 8^{u} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\ln (8)} \cdot 8^{u} + C$

خطوة 5.2

اضرب $\frac{1}{6}$ في $\frac{1}{\ln (8)}$ .

$\frac{1}{6 \ln (8)} \cdot 8^{u} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 y^{3} - 3 y^{2}$ .

$\frac{1}{6 \ln (8)} \cdot 8^{2 y^{3} - 3 y^{2}} + C$