حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{6 x e^{- 3 x + 9}}{6 x^{2} + x}$

خطوة 1

انقُل الحد $6$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9}}{6 x^{2} + x}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$6 \frac{lim_{x \to 0} x e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$6 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

خطوة 2.1.2.2

انقُل النهاية إلى الأُس.

$6 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} - 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

خطوة 2.1.2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$6 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{- lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

خطوة 2.1.2.4

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$6 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

خطوة 2.1.2.5

احسِب قيمة حد $9$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$6 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

خطوة 2.1.2.6

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.6.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

خطوة 2.1.2.6.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

خطوة 2.1.2.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.7.1

اضرب $- 3$ في $0$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{0 + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

خطوة 2.1.2.7.2

أضف $0$ و $9$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

خطوة 2.1.2.7.3

اضرب $0$ في $e^{9}$ .

$6 \frac{0}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$6 \frac{0}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.3.2

انقُل الحد $6$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$6 \frac{0}{6 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.3.3

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$6 \frac{0}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.3.4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$6 \frac{0}{6 \cdot 0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.3.4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$6 \frac{0}{6 \cdot 0^{2} + 0}$

خطوة 2.1.3.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.5.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$6 \frac{0}{6 \cdot 0 + 0}$

خطوة 2.1.3.5.1.2

اضرب $6$ في $0$ .

$6 \frac{0}{0 + 0}$

خطوة 2.1.3.5.2

أضف $0$ و $0$ .

$6 (\frac{0}{0})$

خطوة 2.1.3.5.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$6 (\frac{0}{0})$

خطوة 2.1.3.6

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$6 (\frac{0}{0})$

خطوة 2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$6 (\frac{0}{0})$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9}}{6 x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{- 3 x + 9}]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$6 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{- 3 x + 9}]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{- 3 x + 9}$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x + 9}] + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - 3 x + 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- 3 x + 9$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x + 9] + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x + 9] + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

خطوة 2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 3 x + 9$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [- 3 x + 9] + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 3 x + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [9]) + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

خطوة 2.3.5

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

خطوة 2.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

خطوة 2.3.7

اضرب $- 3$ في $1$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} (- 3 + \frac{d}{d x} [9]) + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

خطوة 2.3.8

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} (- 3 + 0) + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

خطوة 2.3.9

أضف $- 3$ و $0$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} \cdot - 3 + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

خطوة 2.3.10

انقُل $- 3$ إلى يسار $e^{- 3 x + 9}$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 3 \cdot e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

خطوة 2.3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 3 e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

خطوة 2.3.12

اضرب $e^{- 3 x + 9}$ في $1$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 3 e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

خطوة 2.3.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.13.1

أعِد ترتيب الحدود.

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 e^{- 3 x + 9} x + e^{- 3 x + 9}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

خطوة 2.3.13.2

أعِد ترتيب العوامل في $- 3 e^{- 3 x + 9} x + e^{- 3 x + 9}$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

خطوة 2.3.14

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x^{2} + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.15

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.15.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.15.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{6 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.15.3

اضرب $2$ في $6$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{12 x + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.16

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{12 x + 1}$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$6 \frac{lim_{x \to 0} - 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

خطوة 3.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$6 \frac{- lim_{x \to 0} 3 x e^{- 3 x + 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

خطوة 3.3

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x e^{- 3 x + 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

خطوة 3.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

خطوة 3.5

انقُل النهاية إلى الأُس.

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} - 3 x + 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

خطوة 3.6

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

خطوة 3.7

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

خطوة 3.8

احسِب قيمة حد $9$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

خطوة 3.9

انقُل النهاية إلى الأُس.

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{lim_{x \to 0} - 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

خطوة 3.10

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

خطوة 3.11

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

خطوة 3.12

احسِب قيمة حد $9$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

خطوة 3.13

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + lim_{x \to 0} 1}$

خطوة 3.14

انقُل الحد $12$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{12 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

خطوة 3.15

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{12 lim_{x \to 0} x + 1}$

خطوة 4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$6 \frac{- 3 \cdot 0 \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{12 lim_{x \to 0} x + 1}$

خطوة 4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$6 \frac{- 3 \cdot 0 \cdot e^{- 3 \cdot 0 + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{12 lim_{x \to 0} x + 1}$

خطوة 4.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$6 \frac{- 3 \cdot 0 \cdot e^{- 3 \cdot 0 + 9} + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 lim_{x \to 0} x + 1}$

خطوة 4.4

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$6 \frac{- 3 \cdot 0 \cdot e^{- 3 \cdot 0 + 9} + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اضرب $- 3$ في $0$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{- 3 \cdot 0 + 9} + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

خطوة 5.1.2

اضرب $- 3$ في $0$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{0 + 9} + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

خطوة 5.1.3

أضف $0$ و $9$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{9} + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

خطوة 5.1.4

اضرب $0$ في $e^{9}$ .

$6 \frac{0 + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

خطوة 5.1.5

اضرب $- 3$ في $0$ .

$6 \frac{0 + e^{0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

خطوة 5.1.6

أضف $0$ و $9$ .

$6 \frac{0 + e^{9}}{12 \cdot 0 + 1}$

خطوة 5.1.7

أضف $0$ و $e^{9}$ .

$6 \frac{e^{9}}{12 \cdot 0 + 1}$

خطوة 5.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $12$ في $0$ .

$6 \frac{e^{9}}{0 + 1}$

خطوة 5.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$6 \frac{e^{9}}{1}$

خطوة 5.3

اقسِم $e^{9}$ على $1$ .

$6 e^{9}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$6 e^{9}$

الصيغة العشرية:

$48618.50356545 \dots$