حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{2 x^{2} e^{5 x^{3} + 1}}{3 - e^{5 x^{3} + 1}} d x$

خطوة 1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{x^{2} e^{5 x^{3} + 1}}{3 - e^{5 x^{3} + 1}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{1} = 5 x^{3} + 1$ . إذن $d u_{1} = 15 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{15} d u_{1} = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{1} = 5 x^{3} + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $5 x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3} + 1]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{3} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $3$ في $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$15 x^{2} + 0$

خطوة 2.1.4.2

أضف $15 x^{2}$ و $0$ .

$15 x^{2}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{15} d u_{1}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}}$ في $\frac{1}{15}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{(3 - e^{u_{1}}) \cdot 15} d u_{1}$

خطوة 3.2

انقُل $15$ إلى يسار $3 - e^{u_{1}}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{15 (3 - e^{u_{1}})} d u_{1}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{15}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{15}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{15} \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} d u_{1})$

خطوة 5

اجمع $\frac{1}{15}$ و $2$ .

$\frac{2}{15} \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} d u_{1}$

خطوة 6

لنفترض أن $u_{2} = 3 - e^{u_{1}}$ . إذن $d u_{2} = - e^{u_{1}} d u_{1}$ ، لذا $- \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u_{2} = 3 - e^{u_{1}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $3 - e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3 - e^{u_{1}}]$

خطوة 6.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 - e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$

خطوة 6.1.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$

خطوة 6.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $- e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

خطوة 6.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$0 - e^{u_{1}}$

خطوة 6.1.4

اطرح $e^{u_{1}}$ من $0$ .

$- e^{u_{1}}$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{2}{15} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2}{15} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{2}{15} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 9

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{2}{15} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط.

$\frac{2}{15} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

خطوة 10.2

اجمع $\frac{2}{15}$ و $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{2 \ln (| u_{2} |)}{15} + C$

خطوة 11

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 - e^{u_{1}}$ .

$- \frac{2 \ln (| 3 - e^{u_{1}} |)}{15} + C$

خطوة 11.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $5 x^{3} + 1$ .

$- \frac{2 \ln (| 3 - e^{5 x^{3} + 1} |)}{15} + C$

خطوة 12

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{2}{15} \ln (| 3 - e^{5 x^{3} + 1} |) + C$