حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos (x) \sin (x)$

خطوة 1

اكتب $\cos (x) \sin (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = \cos (x) \sin (x)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \cos (x) \sin (x) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = \cos (x)$ . إذن $d u = - \sin (x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = \cos (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int - u d u$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int u d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

خطوة 7

أعِد كتابة $- (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$- \frac{1}{2} u^{2} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$- \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

خطوة 9

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \cos (x) \sin (x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$