حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{\frac{1}{3}}$ و $g (y) = 5 x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $5 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x - 1$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

خطوة 3.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

خطوة 3.3

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

خطوة 3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

خطوة 3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

خطوة 3.5.2

اطرح $3$ من $1$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

خطوة 3.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

خطوة 3.6.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

خطوة 3.6.3

انقُل ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

خطوة 3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x - 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1])$

خطوة 3.8

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $5 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1])$

خطوة 3.9

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 x' + \frac{d}{d y} [- 1])$

خطوة 3.10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 x' + 0)$

خطوة 3.11

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

أضف $5 x'$ و $0$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 x')$

خطوة 3.11.2

اجمع $5$ و $\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} x'$

خطوة 3.11.3

اجمع $\frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ و $x'$ .

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$1 = \frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 1$ .

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 1$

خطوة 5.2

اضرب كلا الطرفين في $3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}) = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

بسّط $\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$3 \frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

خطوة 5.3.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

خطوة 5.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5 x'}{{(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

خطوة 5.3.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ ${(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 x'}{{(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

خطوة 5.3.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$5 x' = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اضرب $3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ في $1$ .

$5 x' = 3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $5 x' = 3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $5 x' = 3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ على $5$ .

$\frac{5 x'}{5} = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 x'}{5} = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$