حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 7 x {(x - 1)}^{6}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 7 x {(x - 1)}^{6} d x$

خطوة 3

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $7$ خارج التكامل.

$7 \int x {(x - 1)}^{6} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = x - 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$7 \int (u + 1) u^{6} d u$

خطوة 5

اضرب $(u + 1) u^{6}$ .

$7 \int u \cdot u^{6} + 1 u^{6} d u$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $u$ في $u^{6}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اضرب $u$ في $u^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$7 \int u^{1} u^{6} + 1 u^{6} d u$

خطوة 6.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$7 \int u^{1 + 6} + 1 u^{6} d u$

خطوة 6.1.2

أضف $1$ و $6$ .

$7 \int u^{7} + 1 u^{6} d u$

خطوة 6.2

اضرب $u^{6}$ في $1$ .

$7 \int u^{7} + u^{6} d u$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$7 (\int u^{7} d u + \int u^{6} d u)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{7}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + C + \int u^{6} d u)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{6}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اجمع $\frac{1}{8}$ و $u^{8}$ .

$7 (\frac{u^{8}}{8} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C)$

خطوة 10.1.2

اجمع $\frac{1}{7}$ و $u^{7}$ .

$7 (\frac{u^{8}}{8} + C + \frac{u^{7}}{7} + C)$

خطوة 10.2

بسّط.

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + \frac{1}{7} u^{7}) + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$7 (\frac{1}{8} {(x - 1)}^{8} + \frac{1}{7} {(x - 1)}^{7}) + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 7 x {(x - 1)}^{6}$ .

$F (x) =$ $7 (\frac{1}{8} {(x - 1)}^{8} + \frac{1}{7} {(x - 1)}^{7}) + C$