حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} e^{x}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int x^{2} e^{x} d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{2}$ و $d v = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x$

خطوة 4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x)$

خطوة 5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x$

خطوة 6

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

خطوة 7

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

خطوة 8

أعِد كتابة $x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$ بالصيغة $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C$ .

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C$

خطوة 9

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = x^{2} e^{x}$ .

$F (x) =$ $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C$