حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 9} \frac{2 x^{2} - 162}{x + 3 \sqrt{x} - 18}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 9} 2 x^{2} - 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} 2 x^{2} - lim_{x \to 9} 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

خطوة 1.1.2.1.2

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 9} x^{2} - lim_{x \to 9} 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

خطوة 1.1.2.1.3

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{2 {(lim_{x \to 9} x)}^{2} - lim_{x \to 9} 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

خطوة 1.1.2.1.4

احسِب قيمة حد $162$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $9$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 9} x)}^{2} - 1 \cdot 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $9$ .

$\frac{2 \cdot 9^{2} - 1 \cdot 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.1

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$\frac{2 \cdot 81 - 1 \cdot 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

خطوة 1.1.2.3.1.2

اضرب $2$ في $81$ .

$\frac{162 - 1 \cdot 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

خطوة 1.1.2.3.1.3

اضرب $- 1$ في $162$ .

$\frac{162 - 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

خطوة 1.1.2.3.2

اطرح $162$ من $162$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + lim_{x \to 9} 3 \sqrt{x} - lim_{x \to 9} 18}$

خطوة 1.1.3.2

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + 3 lim_{x \to 9} \sqrt{x} - lim_{x \to 9} 18}$

خطوة 1.1.3.3

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{lim_{x \to 9} x} - lim_{x \to 9} 18}$

خطوة 1.1.3.4

احسِب قيمة حد $18$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{lim_{x \to 9} x} - 1 \cdot 18}$

خطوة 1.1.3.5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $9$ .

$\frac{0}{9 + 3 \sqrt{lim_{x \to 9} x} - 1 \cdot 18}$

خطوة 1.1.3.5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $9$ .

$\frac{0}{9 + 3 \sqrt{9} - 1 \cdot 18}$

خطوة 1.1.3.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.6.1.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{0}{9 + 3 \sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 18}$

خطوة 1.1.3.6.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{0}{9 + 3 \cdot 3 - 1 \cdot 18}$

خطوة 1.1.3.6.1.3

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{0}{9 + 9 - 1 \cdot 18}$

خطوة 1.1.3.6.1.4

اضرب $- 1$ في $18$ .

$\frac{0}{9 + 9 - 18}$

خطوة 1.1.3.6.2

أضف $9$ و $9$ .

$\frac{0}{18 - 18}$

خطوة 1.1.3.6.3

اطرح $18$ من $18$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.6.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.7

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 9} \frac{2 x^{2} - 162}{x + 3 \sqrt{x} - 18} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{2} - 162$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 162]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

خطوة 1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

خطوة 1.3.3.3

اضرب $2$ في $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [- 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

خطوة 1.3.4

بما أن $- 162$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 162$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x + 0}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

خطوة 1.3.5

أضف $4 x$ و $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

خطوة 1.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3 \sqrt{x} - 18$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

خطوة 1.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

خطوة 1.3.8

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.8.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

خطوة 1.3.8.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

خطوة 1.3.8.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

خطوة 1.3.8.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

خطوة 1.3.8.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

خطوة 1.3.8.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

خطوة 1.3.8.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.8.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

خطوة 1.3.8.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

خطوة 1.3.8.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

خطوة 1.3.8.9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 18]}$

خطوة 1.3.8.10

اجمع $3$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 18]}$

خطوة 1.3.8.11

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 18]}$

خطوة 1.3.9

بما أن $- 18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 18$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

خطوة 1.3.10

أضف $1 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ و $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة $x^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3}{2 \sqrt{x}}}$

خطوة 1.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} + \frac{3}{2 \sqrt{x}}}$

خطوة 1.5.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{\frac{2 \sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x}}}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$4 lim_{x \to 9} \frac{x}{\frac{2 \sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x}}}$

خطوة 2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $9$ .

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{lim_{x \to 9} \frac{2 \sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x}}}$

خطوة 2.3

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} lim_{x \to 9} \frac{2 \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}}}$

خطوة 2.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $9$ .

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 2 \sqrt{x} + 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

خطوة 2.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $9$ .

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 2 \sqrt{x} + lim_{x \to 9} 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

خطوة 2.6

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 9} \sqrt{x} + lim_{x \to 9} 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

خطوة 2.7

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + lim_{x \to 9} 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

خطوة 2.8

احسِب قيمة حد $3$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $9$ .

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

خطوة 2.9

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 3}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}}$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $9$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 3}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $9$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{9} + 3}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}}$

خطوة 3.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $9$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{9} + 3}{\sqrt{9}}}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{3^{2}} + 3}{\sqrt{9}}}$

خطوة 4.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3 + 3}{\sqrt{9}}}$

خطوة 4.1.3

اضرب $2$ في $3$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{6 + 3}{\sqrt{9}}}$

خطوة 4.1.4

أضف $6$ و $3$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{\sqrt{9}}}$

خطوة 4.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{\sqrt{3^{2}}}}$

خطوة 4.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{3}}$

خطوة 4.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{9}{3}$ .

$4 \frac{9}{\frac{9}{2 \cdot 3}}$

خطوة 4.4

اضرب $2$ في $3$ .

$4 \frac{9}{\frac{9}{6}}$

خطوة 4.5

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$4 \frac{9}{\frac{3 (3)}{6}}$

خطوة 4.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$4 \frac{9}{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}}$

خطوة 4.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{9}{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}}$

خطوة 4.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 \frac{9}{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$4 (9 (\frac{2}{3}))$

خطوة 4.7

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$4 (3 (3) \frac{2}{3})$

خطوة 4.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 (3 \cdot 3 \frac{2}{3})$

خطوة 4.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 (3 \cdot 2)$

خطوة 4.8

اضرب $3$ في $2$ .

$4 \cdot 6$

خطوة 4.9

اضرب $4$ في $6$ .

$24$