حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{4} \sin (x)$

خطوة 1

افترض أن $y = f (x)$ ، خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{4} \sin (x))$

خطوة 2

وسّع الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $\ln (x^{4} \sin (x))$ بالصيغة $\ln (x^{4}) + \ln (\sin (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{4}) + \ln (\sin (x))$

خطوة 2.2

وسّع $\ln (x^{4})$ بنقل $4$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (y) = 4 \ln (x) + \ln (\sin (x))$

خطوة 3

أوجِد مشتقة العبارة باستخدام قاعدة السلسلة، مع الأخذ في الاعتبار أن $y$ هو دالة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة الطرف الأيسر $\ln (y)$ باستخدام قاعدة السلسلة.

$\frac{y'}{y} = 4 \ln (x) + \ln (\sin (x))$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد مشتقة $4 \ln (x) + \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [4 \ln (x) + \ln (\sin (x))]$

خطوة 3.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 \ln (x) + \ln (\sin (x))$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

خطوة 3.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

خطوة 3.2.3.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

خطوة 3.2.3.3

اجمع $4$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

خطوة 3.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 3.2.4.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 3.2.4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 3.2.4.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{1}{\sin (x)} \cos (x)$

خطوة 3.2.4.3

حوّل من $\frac{1}{\sin (x)}$ إلى $\csc (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \csc (x) \cos (x)$

خطوة 3.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \csc (x) + \frac{4}{x}$

خطوة 3.2.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1

أعِد كتابة $\csc (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \frac{4}{x}$

خطوة 3.2.5.2.2

اجمع $\cos (x)$ و $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{4}{x}$

خطوة 3.2.5.3

حوّل من $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ إلى $\cot (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cot (x) + \frac{4}{x}$

خطوة 4

اعزِل $y'$ وعوّض بالدالة الأصلية عن $y$ في الطرف الأيمن.

$y' = (\cot (x) + \frac{4}{x}) (x^{4} \sin (x))$

خطوة 5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $\cot (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$y' = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{4}{x}) (x^{4} \sin (x))$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (x^{4} \sin (x)) + \frac{4}{x} (x^{4} \sin (x))$

خطوة 5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $x^{4} \sin (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) x^{4}) + \frac{4}{x} (x^{4} \sin (x))$

خطوة 5.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) x^{4}) + \frac{4}{x} (x^{4} \sin (x))$

خطوة 5.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \cos (x) x^{4} + \frac{4}{x} (x^{4} \sin (x))$

خطوة 5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4} \sin (x)$ .

$y' = \cos (x) x^{4} + \frac{4}{x} (x (x^{3} \sin (x)))$

خطوة 5.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \cos (x) x^{4} + \frac{4}{x} (x (x^{3} \sin (x)))$

خطوة 5.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \cos (x) x^{4} + 4 (x^{3} \sin (x))$

خطوة 5.5

أعِد ترتيب العوامل في $\cos (x) x^{4} + 4 x^{3} \sin (x)$ .

$y' = x^{4} \cos (x) + 4 x^{3} \sin (x)$