حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} + 2 x^{3} + 3 y^{2} - 4 y^{3} = - x$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x^{3} + 3 y^{2} - 4 y^{3}) = \frac{d}{d x} (- x)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 2 x^{3} + 3 y^{2} - 4 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 x + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

خطوة 2.2.3

اضرب $3$ في $2$ .

$2 x + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y$ .

$2 x + 6 x^{2} + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + 6 x^{2} + 3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y$ .

$2 x + 6 x^{2} + 3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + 6 x^{2} + 3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

خطوة 2.3.4

اضرب $2$ في $3$ .

$2 x + 6 x^{2} + 6 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 x + 6 x^{2} + 6 y y' - 4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$2 x + 6 x^{2} + 6 y y' - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 x + 6 x^{2} + 6 y y' - 4 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$2 x + 6 x^{2} + 6 y y' - 4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.4.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + 6 x^{2} + 6 y y' - 4 (3 y^{2} y')$

خطوة 2.4.4

اضرب $3$ في $- 4$ .

$2 x + 6 x^{2} + 6 y y' - 12 y^{2} y'$

خطوة 2.5

أعِد ترتيب الحدود.

$6 x^{2} + 6 y y' - 12 y^{2} y' + 2 x$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$6 x^{2} + 6 y y' - 12 y^{2} y' + 2 x = - 1$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $6 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$6 y y' - 12 y^{2} y' + 2 x = - 1 - 6 x^{2}$

خطوة 5.1.2

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$6 y y' - 12 y^{2} y' = - 1 - 6 x^{2} - 2 x$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $6 y y'$ من $6 y y' - 12 y^{2} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $6 y y'$ من $6 y y'$ .

$6 y y' \cdot 1 - 12 y^{2} y' = - 1 - 6 x^{2} - 2 x$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $6 y y'$ من $- 12 y^{2} y'$ .

$6 y y' \cdot 1 + 6 y y' (- 2 y) = - 1 - 6 x^{2} - 2 x$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $6 y y'$ من $6 y y' \cdot 1 + 6 y y' (- 2 y)$ .

$6 y y' (1 - 2 y) = - 1 - 6 x^{2} - 2 x$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $6 y y' (1 - 2 y) = - 1 - 6 x^{2} - 2 x$ على $6 y (1 - 2 y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $6 y y' (1 - 2 y) = - 1 - 6 x^{2} - 2 x$ على $6 y (1 - 2 y)$ .

$\frac{6 y y' (1 - 2 y)}{6 y (1 - 2 y)} = \frac{- 1}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 6 x^{2}}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 y y' (1 - 2 y)}{6 y (1 - 2 y)} = \frac{- 1}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 6 x^{2}}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y' (1 - 2 y)}{y (1 - 2 y)} = \frac{- 1}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 6 x^{2}}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y' (1 - 2 y)}{y (1 - 2 y)} = \frac{- 1}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 6 x^{2}}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

خطوة 5.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (1 - 2 y)}{1 - 2 y} = \frac{- 1}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 6 x^{2}}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

خطوة 5.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (1 - 2 y)}{1 - 2 y} = \frac{- 1}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 6 x^{2}}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

خطوة 5.3.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 1}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 6 x^{2}}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{1}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 6 x^{2}}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

خطوة 5.3.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $6$ من $- 6 x^{2}$ .

$y' = - \frac{1}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{6 (- x^{2})}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

خطوة 5.3.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $6$ من $6 y (1 - 2 y)$ .

$y' = - \frac{1}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{6 (- x^{2})}{6 (y (1 - 2 y))} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

خطوة 5.3.3.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{1}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{6 (- x^{2})}{6 (y (1 - 2 y))} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

خطوة 5.3.3.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{1}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- x^{2}}{y (1 - 2 y)} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

خطوة 5.3.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{1}{6 y (1 - 2 y)} - \frac{x^{2}}{y (1 - 2 y)} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

خطوة 5.3.3.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$y' = - \frac{1}{6 y (1 - 2 y)} - \frac{x^{2}}{y (1 - 2 y)} + \frac{2 (- x)}{6 y (1 - 2 y)}$

خطوة 5.3.3.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6 y (1 - 2 y)$ .

$y' = - \frac{1}{6 y (1 - 2 y)} - \frac{x^{2}}{y (1 - 2 y)} + \frac{2 (- x)}{2 (3 y (1 - 2 y))}$

خطوة 5.3.3.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{1}{6 y (1 - 2 y)} - \frac{x^{2}}{y (1 - 2 y)} + \frac{2 (- x)}{2 (3 y (1 - 2 y))}$

خطوة 5.3.3.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{1}{6 y (1 - 2 y)} - \frac{x^{2}}{y (1 - 2 y)} + \frac{- x}{3 y (1 - 2 y)}$

خطوة 5.3.3.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{1}{6 y (1 - 2 y)} - \frac{x^{2}}{y (1 - 2 y)} - \frac{x}{3 y (1 - 2 y)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{6 y (1 - 2 y)} - \frac{x^{2}}{y (1 - 2 y)} - \frac{x}{3 y (1 - 2 y)}$