حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

خطوة 4

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 5

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x^{2} - 1)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 5.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int {(x^{2} - 1)}^{2} x^{- 2} d x$

خطوة 6

وسّع ${(x^{2} - 1)}^{2} x^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة ${(x^{2} - 1)}^{2}$ بالصيغة $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$\int (x^{2} - 1) (x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) x^{- 2} d x$

خطوة 6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) x^{- 2} d x$

خطوة 6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x^{- 2} d x$

خطوة 6.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1) x^{- 2} + (- 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x^{- 2} d x$

خطوة 6.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot - 1 x^{- 2} + (- 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x^{- 2} d x$

خطوة 6.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot - 1 x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.8

أعِد ترتيب $x^{2}$ و $- 1$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{2 + 2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.10

أضف $2$ و $2$ .

$\int x^{4} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{4 - 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.12

اطرح $2$ من $4$ .

$\int x^{2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.13

أخرِج السالب.

$\int x^{2} - (x^{2} x^{- 2}) - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.14

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{2} - x^{2 - 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.15

اطرح $2$ من $2$ .

$\int x^{2} - x^{0} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.16

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\int x^{2} - 1 \cdot 1 - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.17

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\int x^{2} - 1 - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.18

أخرِج السالب.

$\int x^{2} - 1 - (x^{2} x^{- 2}) - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.19

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{2} - 1 - x^{2 - 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.20

اطرح $2$ من $2$ .

$\int x^{2} - 1 - x^{0} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.21

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\int x^{2} - 1 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.22

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\int x^{2} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.23

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int x^{2} - 1 - 1 + 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.24

اضرب $x^{- 2}$ في $1$ .

$\int x^{2} - 1 - 1 + x^{- 2} d x$

خطوة 6.25

اطرح $1$ من $- 1$ .

$\int x^{2} - 2 + x^{- 2} d x$

خطوة 6.26

أعِد ترتيب $- 2$ و $x^{- 2}$ .

$\int x^{2} + x^{- 2} - 2 d x$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x^{2} d x + \int x^{- 2} d x + \int - 2 d x$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x^{- 2} d x + \int - 2 d x$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + \int - 2 d x$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C - 2 x + C$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط.

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{x} - 2 x + C$

خطوة 11.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} - 2 x + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} - 2 x + C$