حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{2}{15} x^{6} + x^{5} - 8 x^{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{2}{15} x^{6} + x^{5} - 8 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $\frac{2}{15}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2}{15} x^{6}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$\frac{2}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

خطوة 1.1.2.3

اجمع $6$ و $\frac{2}{15}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

خطوة 1.1.2.4

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{12}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

خطوة 1.1.2.5

اجمع $\frac{12}{15}$ و $x^{5}$ .

$\frac{12 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

خطوة 1.1.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $12 x^{5}$ .

$\frac{3 (4 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

خطوة 1.1.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $15$ .

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

خطوة 1.1.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

خطوة 1.1.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} + 5 x^{4} - 8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} + 5 x^{4} - 8 (4 x^{3})$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $4$ في $- 8$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{5}}{5} + 5 x^{4} - 32 x^{3}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{4 x^{5}}{5} + 5 x^{4} - 32 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $\frac{4}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4 x^{5}}{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{4}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.3

اجمع $5$ و $\frac{4}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.4

اضرب $5$ في $4$ .

$\frac{20}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.5

اجمع $\frac{20}{5}$ و $x^{4}$ .

$\frac{20 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $20$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.6.1

أخرِج العامل $5$ من $20 x^{4}$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.6.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.6.2.4

اقسِم $4 x^{4}$ على $1$ .

$4 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $4$ في $5$ .

$4 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

خطوة 1.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بما أن $- 32$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 32 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{4} + 20 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 x^{4} + 20 x^{3} - 32 (3 x^{2})$

خطوة 1.2.4.3

اضرب $3$ في $- 32$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} + 20 x^{3} - 96 x^{2}$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $4 x^{4} + 20 x^{3} - 96 x^{2}$ .

$4 x^{4} + 20 x^{3} - 96 x^{2}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $4 x^{4} + 20 x^{3} - 96 x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 x^{4} + 20 x^{3} - 96 x^{2} = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $4 x^{2}$ من $4 x^{4} + 20 x^{3} - 96 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $4 x^{2}$ من $4 x^{4}$ .

$4 x^{2} (x^{2}) + 20 x^{3} - 96 x^{2} = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $4 x^{2}$ من $20 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x^{2}) + 4 x^{2} (5 x) - 96 x^{2} = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $4 x^{2}$ من $- 96 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x^{2}) + 4 x^{2} (5 x) + 4 x^{2} (- 24) = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $4 x^{2}$ من $4 x^{2} (x^{2}) + 4 x^{2} (5 x)$ .

$4 x^{2} (x^{2} + 5 x) + 4 x^{2} (- 24) = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $4 x^{2}$ من $4 x^{2} (x^{2} + 5 x) + 4 x^{2} (- 24)$ .

$4 x^{2} (x^{2} + 5 x - 24) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

حلّل $x^{2} + 5 x - 24$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 24$ ومجموعهما $5$ .

$- 3, 8$

خطوة 2.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$4 x^{2} ((x - 3) (x + 8)) = 0$

خطوة 2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$4 x^{2} (x - 3) (x + 8) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 8 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 2.4.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 2.4.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 2.5.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 2.6

عيّن قيمة العبارة $x + 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

عيّن قيمة $x + 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 8 = 0$

خطوة 2.6.2

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$x = - 8$

خطوة 2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $4 x^{2} (x - 3) (x + 8) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 3, - 8$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} + x^{5} - 8 x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{2}{15} \cdot {(0)}^{6} + {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{2}{15} \cdot 0 + {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $\frac{2}{15}$ في $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 0 - 8 {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2.1.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 0 - 8 \cdot 0$

خطوة 3.1.2.1.5

اضرب $- 8$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

خطوة 3.1.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

خطوة 3.1.2.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} + x^{5} - 8 x^{4}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $3$ في $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} + x^{5} - 8 x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f (3) = \frac{2}{15} \cdot {(3)}^{6} + {(3)}^{5} - 8 {(3)}^{4}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $6$ .

$f (3) = \frac{2}{15} \cdot 729 + {(3)}^{5} - 8 {(3)}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $15$ .

$f (3) = \frac{2}{3 (5)} \cdot 729 + {(3)}^{5} - 8 {(3)}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.2.2

أخرِج العامل $3$ من $729$ .

$f (3) = \frac{2}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 243) + {(3)}^{5} - 8 {(3)}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (3) = \frac{2}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 243) + {(3)}^{5} - 8 {(3)}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (3) = \frac{2}{5} \cdot 243 + {(3)}^{5} - 8 {(3)}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.3

اجمع $\frac{2}{5}$ و $243$ .

$f (3) = \frac{2 \cdot 243}{5} + {(3)}^{5} - 8 {(3)}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.4

اضرب $2$ في $243$ .

$f (3) = \frac{486}{5} + {(3)}^{5} - 8 {(3)}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.5

ارفع $3$ إلى القوة $5$ .

$f (3) = \frac{486}{5} + 243 - 8 {(3)}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.6

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$f (3) = \frac{486}{5} + 243 - 8 \cdot 81$

خطوة 3.3.2.1.7

اضرب $- 8$ في $81$ .

$f (3) = \frac{486}{5} + 243 - 648$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

اكتب $243$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (3) = \frac{486}{5} + \frac{243}{1} - 648$

خطوة 3.3.2.2.2

اضرب $\frac{243}{1}$ في $\frac{5}{5}$ .

$f (3) = \frac{486}{5} + \frac{243}{1} \cdot \frac{5}{5} - 648$

خطوة 3.3.2.2.3

اضرب $\frac{243}{1}$ في $\frac{5}{5}$ .

$f (3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} - 648$

خطوة 3.3.2.2.4

اكتب $- 648$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} + \frac{- 648}{1}$

خطوة 3.3.2.2.5

اضرب $\frac{- 648}{1}$ في $\frac{5}{5}$ .

$f (3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} + \frac{- 648}{1} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 3.3.2.2.6

اضرب $\frac{- 648}{1}$ في $\frac{5}{5}$ .

$f (3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} + \frac{- 648 \cdot 5}{5}$

خطوة 3.3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (3) = \frac{486 + 243 \cdot 5 - 648 \cdot 5}{5}$

خطوة 3.3.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

اضرب $243$ في $5$ .

$f (3) = \frac{486 + 1215 - 648 \cdot 5}{5}$

خطوة 3.3.2.4.2

اضرب $- 648$ في $5$ .

$f (3) = \frac{486 + 1215 - 3240}{5}$

خطوة 3.3.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

أضف $486$ و $1215$ .

$f (3) = \frac{1701 - 3240}{5}$

خطوة 3.3.2.5.2

اطرح $3240$ من $1701$ .

$f (3) = \frac{- 1539}{5}$

خطوة 3.3.2.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (3) = - \frac{1539}{5}$

خطوة 3.3.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{1539}{5}$ .

$- \frac{1539}{5}$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $3$ في $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} + x^{5} - 8 x^{4}$ هي $(3, - \frac{1539}{5})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(3, - \frac{1539}{5})$

خطوة 3.5

عوّض بقيمة $- 8$ في $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} + x^{5} - 8 x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 8$ في العبارة.

$f (- 8) = \frac{2}{15} \cdot {(- 8)}^{6} + {(- 8)}^{5} - 8 {(- 8)}^{4}$

خطوة 3.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $6$ .

$f (- 8) = \frac{2}{15} \cdot 262144 + {(- 8)}^{5} - 8 {(- 8)}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.2

اضرب $\frac{2}{15} \cdot 262144$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.2.1

اجمع $\frac{2}{15}$ و $262144$ .

$f (- 8) = \frac{2 \cdot 262144}{15} + {(- 8)}^{5} - 8 {(- 8)}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.2.2

اضرب $2$ في $262144$ .

$f (- 8) = \frac{524288}{15} + {(- 8)}^{5} - 8 {(- 8)}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.3

ارفع $- 8$ إلى القوة $5$ .

$f (- 8) = \frac{524288}{15} - 32768 - 8 {(- 8)}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4

اضرب $- 8$ في ${(- 8)}^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.4.1

اضرب $- 8$ في ${(- 8)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.4.1.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $1$ .

$f (- 8) = \frac{524288}{15} - 32768 + (- 8) {(- 8)}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (- 8) = \frac{524288}{15} - 32768 + {(- 8)}^{1 + 4}$

خطوة 3.5.2.1.4.2

أضف $1$ و $4$ .

$f (- 8) = \frac{524288}{15} - 32768 + {(- 8)}^{5}$

خطوة 3.5.2.1.5

ارفع $- 8$ إلى القوة $5$ .

$f (- 8) = \frac{524288}{15} - 32768 - 32768$

خطوة 3.5.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

اكتب $- 32768$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- 8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768}{1} - 32768$

خطوة 3.5.2.2.2

اضرب $\frac{- 32768}{1}$ في $\frac{15}{15}$ .

$f (- 8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768}{1} \cdot \frac{15}{15} - 32768$

خطوة 3.5.2.2.3

اضرب $\frac{- 32768}{1}$ في $\frac{15}{15}$ .

$f (- 8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} - 32768$

خطوة 3.5.2.2.4

اكتب $- 32768$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- 8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} + \frac{- 32768}{1}$

خطوة 3.5.2.2.5

اضرب $\frac{- 32768}{1}$ في $\frac{15}{15}$ .

$f (- 8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} + \frac{- 32768}{1} \cdot \frac{15}{15}$

خطوة 3.5.2.2.6

اضرب $\frac{- 32768}{1}$ في $\frac{15}{15}$ .

$f (- 8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15}$

خطوة 3.5.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- 8) = \frac{524288 - 32768 \cdot 15 - 32768 \cdot 15}{15}$

خطوة 3.5.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.4.1

اضرب $- 32768$ في $15$ .

$f (- 8) = \frac{524288 - 491520 - 32768 \cdot 15}{15}$

خطوة 3.5.2.4.2

اضرب $- 32768$ في $15$ .

$f (- 8) = \frac{524288 - 491520 - 491520}{15}$

خطوة 3.5.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.5.1

اطرح $491520$ من $524288$ .

$f (- 8) = \frac{32768 - 491520}{15}$

خطوة 3.5.2.5.2

اطرح $491520$ من $32768$ .

$f (- 8) = \frac{- 458752}{15}$

خطوة 3.5.2.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- 8) = - \frac{458752}{15}$

خطوة 3.5.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{458752}{15}$ .

$- \frac{458752}{15}$

خطوة 3.6

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 8$ في $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} + x^{5} - 8 x^{4}$ هي $(- 8, - \frac{458752}{15})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 8, - \frac{458752}{15})$

خطوة 3.7

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (3, - \frac{1539}{5}), (- 8, - \frac{458752}{15})$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 8)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 8.1$ في العبارة.

$f'' (- 8.1) = 4 {(- 8.1)}^{4} + 20 {(- 8.1)}^{3} - 96 {(- 8.1)}^{2}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 8.1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 8.1) = 4 \cdot 4304.6721 + 20 {(- 8.1)}^{3} - 96 {(- 8.1)}^{2}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $4$ في $4304.6721$ .

$f'' (- 8.1) = 17218.6884 + 20 {(- 8.1)}^{3} - 96 {(- 8.1)}^{2}$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $- 8.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 8.1) = 17218.6884 + 20 \cdot - 531.441 - 96 {(- 8.1)}^{2}$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $20$ في $- 531.441$ .

$f'' (- 8.1) = 17218.6884 - 10628.82 - 96 {(- 8.1)}^{2}$

خطوة 5.2.1.5

ارفع $- 8.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 8.1) = 17218.6884 - 10628.82 - 96 \cdot 65.61$

خطوة 5.2.1.6

اضرب $- 96$ في $65.61$ .

$f'' (- 8.1) = 17218.6884 - 10628.82 - 6298.56$

خطوة 5.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $10628.82$ من $17218.6884$ .

$f'' (- 8.1) = 6589.8684 - 6298.56$

خطوة 5.2.2.2

اطرح $6298.56$ من $6589.8684$ .

$f'' (- 8.1) = 291.3084$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $291.3084$ .

$291.3084$

خطوة 5.3

في $- 8.1$ ، المشتق الثاني هو $291.3084$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - 8)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 8)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 8, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f'' (- 4) = 4 {(- 4)}^{4} + 20 {(- 4)}^{3} - 96 {(- 4)}^{2}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 4) = 4 \cdot 256 + 20 {(- 4)}^{3} - 96 {(- 4)}^{2}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $4$ في $256$ .

$f'' (- 4) = 1024 + 20 {(- 4)}^{3} - 96 {(- 4)}^{2}$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 4$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 4) = 1024 + 20 \cdot - 64 - 96 {(- 4)}^{2}$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $20$ في $- 64$ .

$f'' (- 4) = 1024 - 1280 - 96 {(- 4)}^{2}$

خطوة 6.2.1.5

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 4) = 1024 - 1280 - 96 \cdot 16$

خطوة 6.2.1.6

اضرب $- 96$ في $16$ .

$f'' (- 4) = 1024 - 1280 - 1536$

خطوة 6.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $1280$ من $1024$ .

$f'' (- 4) = - 256 - 1536$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $1536$ من $- 256$ .

$f'' (- 4) = - 1792$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1792$ .

$- 1792$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 4$ يساوي $- 1792$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- 8, 0)$

تناقص خلال $(- 8, 0)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 3)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3}{2}$ في العبارة.

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 {(\frac{3}{2})}^{4} + 20 {(\frac{3}{2})}^{3} - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 20 {(\frac{3}{2})}^{3} - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{2^{4}}) + 20 {(\frac{3}{2})}^{3} - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{16}) + 20 {(\frac{3}{2})}^{3} - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{4 (4)}) + 20 {(\frac{3}{2})}^{3} - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{4 \cdot 4}) + 20 {(\frac{3}{2})}^{3} - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 20 {(\frac{3}{2})}^{3} - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 20 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.6

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 20 (\frac{27}{2^{3}}) - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.7

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 20 (\frac{27}{8}) - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.8

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.8.1

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 (5) (\frac{27}{8}) - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.8.2

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 \cdot (5 (\frac{27}{4 \cdot 2})) - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.8.3

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 \cdot (5 (\frac{27}{4 \cdot 2})) - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.8.4

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 5 (\frac{27}{2}) - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.9

اجمع $5$ و $\frac{27}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{5 \cdot 27}{2} - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.10

اضرب $5$ في $27$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 7.2.1.11

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

خطوة 7.2.1.12

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 \frac{9}{2^{2}}$

خطوة 7.2.1.13

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 (\frac{9}{4})$

خطوة 7.2.1.14

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.14.1

أخرِج العامل $4$ من $- 96$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} + 4 (- 24) (\frac{9}{4})$

خطوة 7.2.1.14.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} + 4 \cdot (- 24 (\frac{9}{4}))$

خطوة 7.2.1.14.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 24 \cdot 9$

خطوة 7.2.1.15

اضرب $- 24$ في $9$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 216$

خطوة 7.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اضرب $\frac{135}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} \cdot \frac{2}{2} - 216$

خطوة 7.2.2.2

اضرب $\frac{135}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 216$

خطوة 7.2.2.3

اكتب $- 216$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 216}{1}$

خطوة 7.2.2.4

اضرب $\frac{- 216}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 216}{1} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 7.2.2.5

اضرب $\frac{- 216}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 216 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.2.2.6

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{4} + \frac{- 216 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81 + 135 \cdot 2 - 216 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

اضرب $135$ في $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81 + 270 - 216 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.2.4.2

اضرب $- 216$ في $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{81 + 270 - 864}{4}$

خطوة 7.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1

أضف $81$ و $270$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{351 - 864}{4}$

خطوة 7.2.5.2

اطرح $864$ من $351$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 513}{4}$

خطوة 7.2.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{513}{4}$

خطوة 7.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{513}{4}$ .

$- \frac{513}{4}$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $\frac{3}{2}$ يساوي $- 128.25$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(0, 3)$

تناقص خلال $(0, 3)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(3, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3.1$ في العبارة.

$f'' (3.1) = 4 {(3.1)}^{4} + 20 {(3.1)}^{3} - 96 {(3.1)}^{2}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $3.1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (3.1) = 4 \cdot 92.3521 + 20 {(3.1)}^{3} - 96 {(3.1)}^{2}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $4$ في $92.3521$ .

$f'' (3.1) = 369.4084 + 20 {(3.1)}^{3} - 96 {(3.1)}^{2}$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $3.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (3.1) = 369.4084 + 20 \cdot 29.791 - 96 {(3.1)}^{2}$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $20$ في $29.791$ .

$f'' (3.1) = 369.4084 + 595.82 - 96 {(3.1)}^{2}$

خطوة 8.2.1.5

ارفع $3.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (3.1) = 369.4084 + 595.82 - 96 \cdot 9.61$

خطوة 8.2.1.6

اضرب $- 96$ في $9.61$ .

$f'' (3.1) = 369.4084 + 595.82 - 922.56$

خطوة 8.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أضف $369.4084$ و $595.82$ .

$f'' (3.1) = 965.2284 - 922.56$

خطوة 8.2.2.2

اطرح $922.56$ من $965.2284$ .

$f'' (3.1) = 42.6684$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $42.6684$ .

$42.6684$

خطوة 8.3

في $3.1$ ، المشتق الثاني هو $42.6684$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(3, \infty)$ .

تزايد خلال $(3, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 8, - \frac{458752}{15}), (3, - \frac{1539}{5})$ .

$(- 8, - \frac{458752}{15}), (3, - \frac{1539}{5})$

خطوة 10