حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{e}^{4} \frac{1}{x \ln (x)} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \ln (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

خطوة 1.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (4)$

خطوة 1.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \ln (4)$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{\ln (4)} \frac{1}{u} d u$

خطوة 2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{\ln (4)}$

خطوة 3

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $\ln (4)$ وفي $1$ .

$\ln (| \ln (4) |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 4

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \ln (4) |}{| 1 |})$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

$\ln (4)$ تساوي تقريبًا $1.38629436$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\ln (\frac{\ln (4)}{| 1 |})$

خطوة 5.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\ln (\frac{\ln (4)}{1})$

خطوة 5.3

اقسِم $\ln (4)$ على $1$ .

$\ln (\ln (4))$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\ln (\ln (4))$

الصيغة العشرية:

$0.32663425 \dots$