حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{2}{\sqrt[3]{3 x}} d x$

خطوة 1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{3 x}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 2.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 2.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 3} d u$

خطوة 3.2

انقُل $3$ إلى يسار $\sqrt[3]{u}$ .

$2 \int \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

خطوة 5

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $2$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

خطوة 5.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

خطوة 5.2.2

انقُل $u^{\frac{1}{3}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

خطوة 5.2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

خطوة 5.2.3.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

خطوة 5.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2}{3} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $\frac{2}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ بالصيغة $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

خطوة 7.2.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{6}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

خطوة 7.2.3

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

خطوة 7.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

خطوة 7.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 u^{\frac{2}{3}} + C$

خطوة 7.2.5

اضرب $u^{\frac{2}{3}}$ في $1$ .

$u^{\frac{2}{3}} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

${(3 x)}^{\frac{2}{3}} + C$