حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln ({(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = {(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح ${(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ ${(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \frac{x + 1}{2 x - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\frac{x + 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2 x - 1}])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2 x - 1}])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\frac{x + 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (2 \frac{x + 1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2 x - 1}])$

خطوة 3

اجمع $2$ و $\frac{x + 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2 x - 1}])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x + 1$ و $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

خطوة 5.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

خطوة 5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

خطوة 5.4.2

اضرب $2 x - 1$ في $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

خطوة 5.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}})$

خطوة 5.6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}})$

خطوة 5.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}})$

خطوة 5.8

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}})$

خطوة 5.9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}})$

خطوة 5.10

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.1

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}})$

خطوة 5.10.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - 2 (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}})$

خطوة 5.10.3

اضرب $\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1}$ في $\frac{2 x - 1 - 2 (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 6

اضرب $2 x - 1$ في ${(2 x - 1)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $2 x - 1$ في ${(2 x - 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

ارفع $2 x - 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 6.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{1 + 2}}$

خطوة 6.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{3}}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x + 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{3}}$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}} \cdot \frac{(2 x + 2 \cdot 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{3}}$

خطوة 7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}} \cdot \frac{(2 x + 2 \cdot 1) (2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

خطوة 7.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$1 \frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \frac{(2 x + 2 \cdot 1) (2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

خطوة 7.4.2

اضرب $\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ في $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2 \cdot 1) (2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

خطوة 7.4.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) (2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

خطوة 7.4.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) (2 x - 1 - 2 x - 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

خطوة 7.4.5

اطرح $2 x$ من $2 x$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) (0 - 1 - 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

خطوة 7.4.6

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) (- 1 - 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

خطوة 7.4.7

اطرح $2$ من $- 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) \cdot - 3}{{(2 x - 1)}^{3}}$

خطوة 7.4.8

انقُل $- 3$ إلى يسار $2 x + 2$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{- 3 \cdot (2 x + 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

خطوة 7.4.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{3 (2 x + 2)}{{(2 x - 1)}^{3}})$

خطوة 7.4.10

اضرب $\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ في $\frac{3 (2 x + 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$ .

$- \frac{{(2 x - 1)}^{2} (3 (2 x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}}$

خطوة 7.4.11

انقُل $3$ إلى يسار ${(2 x - 1)}^{2}$ .

$- \frac{3 \cdot {(2 x - 1)}^{2} (2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}}$

خطوة 7.4.12

احذِف العامل المشترك لـ ${(2 x - 1)}^{2}$ و ${(2 x - 1)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.12.1

أخرِج العامل ${(2 x - 1)}^{2}$ من $3 {(2 x - 1)}^{2} (2 x + 2)$ .

$- \frac{{(2 x - 1)}^{2} (3 (2 x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}}$

خطوة 7.4.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.12.2.1

أخرِج العامل ${(2 x - 1)}^{2}$ من ${(x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ .

$- \frac{{(2 x - 1)}^{2} (3 (2 x + 2))}{{(2 x - 1)}^{2} ({(x + 1)}^{2} (2 x - 1))}$

خطوة 7.4.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{{(2 x - 1)}^{2} (3 (2 x + 2))}{{(2 x - 1)}^{2} ({(x + 1)}^{2} (2 x - 1))}$

خطوة 7.4.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{3 (2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

خطوة 7.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$- \frac{3 (2 (x) + 2)}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

خطوة 7.5.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{3 (2 (x) + 2 (1))}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

خطوة 7.5.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (x) + 2 (1)$ .

$- \frac{3 (2 (x + 1))}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

$- \frac{3 \cdot 2 (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

خطوة 7.5.2

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{6 (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

خطوة 7.6

احذِف العامل المشترك لـ $x + 1$ و ${(x + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

أخرِج العامل $x + 1$ من $6 (x + 1)$ .

$- \frac{(x + 1) \cdot 6}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

خطوة 7.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.2.1

أخرِج العامل $x + 1$ من ${(x + 1)}^{2} (2 x - 1)$ .

$- \frac{(x + 1) \cdot 6}{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 1))}$

خطوة 7.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{(x + 1) \cdot 6}{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 1))}$

خطوة 7.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{6}{(x + 1) (2 x - 1)}$