حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{7}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{7}$ و $g (x) = \frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 3 x^{2} + 2$ و $g (x) = x + 1$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2] - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4

اضرب $2$ في $3$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [2]) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (6 x + 0) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $6 x$ و $0$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{(x + 1) (6 x) - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.6.2

انقُل $6$ إلى يسار $x + 1$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 \cdot (x + 1) x - (3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.9

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.10

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

أضف $1$ و $0$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.10.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$7 {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6} \frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.10.3

اجمع $\frac{6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$ و $7$ .

$\frac{(6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2)) \cdot 7}{{(x + 1)}^{2}} {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6}$

خطوة 3.10.4

انقُل $7$ إلى يسار $6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2)$ .

$\frac{7 \cdot (6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2))}{{(x + 1)}^{2}} {(\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1})}^{6}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3 x^{2} + 2}{x + 1}$ .

$\frac{7 (6 (x + 1) x - (3 x^{2} + 2))}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{7 ((6 x + 6 \cdot 1) x - (3 x^{2} + 2))}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{7 (6 x \cdot x + 6 \cdot 1 x - (3 x^{2} + 2))}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 4.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{7 (6 x \cdot x + 6 \cdot 1 x - (3 x^{2}) - 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 4.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{7 (6 x \cdot x) + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 4.6

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{7 (6 (x^{1} x)) + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 4.6.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{7 (6 (x^{1} x^{1})) + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 4.6.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{7 (6 x^{1 + 1}) + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 4.6.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{7 (6 x^{2}) + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 4.6.5

اضرب $6$ في $7$ .

$\frac{42 x^{2} + 7 (6 \cdot 1 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 4.6.6

اضرب $6$ في $1$ .

$\frac{42 x^{2} + 7 (6 x) + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 4.6.7

اضرب $6$ في $7$ .

$\frac{42 x^{2} + 42 x + 7 (- (3 x^{2})) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 4.6.8

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{42 x^{2} + 42 x + 7 (- 3 x^{2}) + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 4.6.9

اضرب $- 3$ في $7$ .

$\frac{42 x^{2} + 42 x - 21 x^{2} + 7 (- 1 \cdot 2)}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 4.6.10

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{42 x^{2} + 42 x - 21 x^{2} + 7 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 4.6.11

اضرب $7$ في $- 2$ .

$\frac{42 x^{2} + 42 x - 21 x^{2} - 14}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 4.6.12

اطرح $21 x^{2}$ من $42 x^{2}$ .

$\frac{21 x^{2} + 42 x - 14}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$

خطوة 4.6.13

اضرب $\frac{21 x^{2} + 42 x - 14}{{(x + 1)}^{2}}$ في $\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{6}}$ .

$\frac{(21 x^{2} + 42 x - 14) {(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{6}}$

خطوة 4.6.14

اضرب ${(x + 1)}^{2}$ في ${(x + 1)}^{6}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.14.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{(21 x^{2} + 42 x - 14) {(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{2 + 6}}$

خطوة 4.6.14.2

أضف $2$ و $6$ .

$\frac{(21 x^{2} + 42 x - 14) {(3 x^{2} + 2)}^{6}}{{(x + 1)}^{8}}$

خطوة 4.7

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (21 x^{2} + 42 x - 14)}{{(x + 1)}^{8}}$

خطوة 4.8

أخرِج العامل $7$ من $21 x^{2} + 42 x - 14$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

أخرِج العامل $7$ من $21 x^{2}$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (7 (3 x^{2}) + 42 x - 14)}{{(x + 1)}^{8}}$

خطوة 4.8.2

أخرِج العامل $7$ من $42 x$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (7 (3 x^{2}) + 7 (6 x) - 14)}{{(x + 1)}^{8}}$

خطوة 4.8.3

أخرِج العامل $7$ من $- 14$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (7 (3 x^{2}) + 7 (6 x) + 7 (- 2))}{{(x + 1)}^{8}}$

خطوة 4.8.4

أخرِج العامل $7$ من $7 (3 x^{2}) + 7 (6 x)$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (7 (3 x^{2} + 6 x) + 7 (- 2))}{{(x + 1)}^{8}}$

خطوة 4.8.5

أخرِج العامل $7$ من $7 (3 x^{2} + 6 x) + 7 (- 2)$ .

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} (7 (3 x^{2} + 6 x - 2))}{{(x + 1)}^{8}}$

$\frac{{(3 x^{2} + 2)}^{6} \cdot 7 (3 x^{2} + 6 x - 2)}{{(x + 1)}^{8}}$

خطوة 4.9

انقُل $7$ إلى يسار ${(3 x^{2} + 2)}^{6}$ .

$\frac{7 {(3 x^{2} + 2)}^{6} (3 x^{2} + 6 x - 2)}{{(x + 1)}^{8}}$