حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} 5^{\frac{3 x}{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \frac{3 x}{2}$ . إذن $d u = \frac{3}{2} d x$ ، لذا $\frac{2}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \frac{3 x}{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{3 x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

خطوة 1.1.2

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3 x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $\frac{3}{2}$ في $1$ .

$\frac{3}{2}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \frac{3 x}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 0}{2}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $3 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2}$

خطوة 1.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2 (1)}$

خطوة 1.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 0}{1}$

خطوة 1.3.1.2.4

اقسِم $3 \cdot 0$ على $1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

خطوة 1.3.2

اضرب $3$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \frac{3 x}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{3 \cdot 1}{2}$

خطوة 1.5

اضرب $3$ في $1$ .

$u_{upper} = \frac{3}{2}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3}{2}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{3}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot (1 (\frac{2}{3})) d u$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{2}{3}$ في $1$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot \frac{2}{3} d u$

خطوة 2.3

اجمع $5^{u}$ و $\frac{2}{3}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{5^{u} \cdot 2}{3} d u$

خطوة 2.4

انقُل $2$ إلى يسار $5^{u}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{2 \cdot 5^{u}}{3} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{2}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{2}{3} \int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} d u$

خطوة 4

تكامل $5^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ .

$\frac{2}{3} \frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 5

اجمع $\frac{2}{3}$ و $\frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (\frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}})}{3}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ في $\frac{3}{2}$ وفي $0$ .

$\frac{2 ((\frac{5^{\frac{3}{2}}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)})}{3}$

خطوة 6.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{2 (\frac{5^{\frac{3}{2}}}{\ln (5)} - \frac{1}{\ln (5)})}{3}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 \frac{5^{\frac{3}{2}} - 1}{\ln (5)}}{3}$

خطوة 7.2

اجمع $2$ و $\frac{5^{\frac{3}{2}} - 1}{\ln (5)}$ .

$\frac{\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5)}}{3}$

خطوة 7.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 7.4

اجمع.

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1) \cdot 1}{\ln (5) \cdot 3}$

خطوة 7.5

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5) \cdot 3}$

خطوة 7.6

انقُل $3$ إلى يسار $\ln (5)$ .

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{3 \ln (5)}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{3 \ln (5)}$

الصيغة العشرية:

$4.21693387 \dots$

خطوة 9