حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $- \frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{6} x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{6}) x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2.4

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2.5

اجمع $\frac{- 4}{6}$ و $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = - \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $- \frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{2 x^{3}}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.2.2.4

اجمع $- 3$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.2.2.5

اضرب $- 3$ في $2$ .

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.2.2.6

اجمع $\frac{- 6}{3}$ و $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.2.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.7.1

أخرِج العامل $3$ من $- 6 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.2.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.7.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.2.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.2.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.2.2.7.2.4

اقسِم $- 2 x^{2}$ على $1$ .

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 \cdot 1$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{2} + 2$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 2 x^{2} + 2$ .

$- 2 x^{2} + 2$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 2 x^{2} + 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

خطوة 2.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- 2 x^{2} = - 2$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $- 2 x^{2} = - 2$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $- 2 x^{2} = - 2$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $- 2$ على $- 2$ .

$x^{2} = 1$

خطوة 2.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{1}$

خطوة 2.5

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm 1$

خطوة 2.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 1$

خطوة 2.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 1$

خطوة 2.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 1, - 1$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $1$ في $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = - \frac{1}{6} \cdot {(1)}^{4} + {(1)}^{2}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = - \frac{1}{6} \cdot 1 + {(1)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (1) = - \frac{1}{6} + {(1)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = - \frac{1}{6} + 1$

خطوة 3.1.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f (1) = - \frac{1}{6} + \frac{6}{6}$

خطوة 3.1.2.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (1) = \frac{- 1 + 6}{6}$

خطوة 3.1.2.2.3

أضف $- 1$ و $6$ .

$f (1) = \frac{5}{6}$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6}$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $1$ في $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ هي $(1, \frac{5}{6})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(1, \frac{5}{6})$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $- 1$ في $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = - \frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.1

انقُل ${(- 1)}^{4}$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 (\frac{1}{6})) + {(- 1)}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.1.2

اضرب ${(- 1)}^{4}$ في $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) (\frac{1}{6})) + {(- 1)}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4 + 1} (\frac{1}{6}) + {(- 1)}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.1.3

أضف $4$ و $1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{5} (\frac{1}{6}) + {(- 1)}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $5$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + {(- 1)}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + 1$

خطوة 3.3.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + \frac{6}{6}$

خطوة 3.3.2.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 6}{6}$

خطوة 3.3.2.2.3

أضف $- 1$ و $6$ .

$f (- 1) = \frac{5}{6}$

خطوة 3.3.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6}$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 1$ في $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ هي $(- 1, \frac{5}{6})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 1, \frac{5}{6})$

خطوة 3.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(1, \frac{5}{6}), (- 1, \frac{5}{6})$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.1$ في العبارة.

$f'' (- 1.1) = - 2 {(- 1.1)}^{2} + 2$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 1.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 2 \cdot 1.21 + 2$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 2$ في $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 2.42 + 2$

خطوة 5.2.2

أضف $- 2.42$ و $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.42$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.42$ .

$- 0.42$

خطوة 5.3

المشتق الثاني عند $- 1.1$ يساوي $- 0.42$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - 1)$

تناقص خلال $(- \infty, - 1)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, 1)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = - 2 {(0)}^{2} + 2$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = - 2 \cdot 0 + 2$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 2$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 + 2$

خطوة 6.2.2

أضف $0$ و $2$ .

$f'' (0) = 2$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 6.3

في $0$ ، المشتق الثاني هو $2$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 1, 1)$ .

تزايد خلال $(- 1, 1)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.1$ في العبارة.

$f'' (1.1) = - 2 {(1.1)}^{2} + 2$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $1.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.1) = - 2 \cdot 1.21 + 2$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 2$ في $1.21$ .

$f'' (1.1) = - 2.42 + 2$

خطوة 7.2.2

أضف $- 2.42$ و $2$ .

$f'' (1.1) = - 0.42$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.42$ .

$- 0.42$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $1.1$ يساوي $- 0.42$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(1, \infty)$

تناقص خلال $(1, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 1, \frac{5}{6}), (1, \frac{5}{6})$ .

$(- 1, \frac{5}{6}), (1, \frac{5}{6})$

خطوة 9