حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y + x^{3} y - 5 x = 0$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y + x^{3} y - 5 x) = \frac{d}{d x} (0)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + x^{3} y - 5 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

$y' + x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y' + x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$y' + x^{3} y' + y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

خطوة 2.3.4

انقُل $3$ إلى يسار $y$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5 \cdot 1$

خطوة 2.4.3

اضرب $- 5$ في $1$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5$

خطوة 2.5

أعِد ترتيب الحدود.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + y' - 5$

خطوة 3

بما أن $0$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + y' - 5 = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $3 x^{2} y$ من كلا المتعادلين.

$x^{3} y' + y' - 5 = - 3 x^{2} y$

خطوة 5.1.2

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{3} y' + y' = - 3 x^{2} y + 5$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $y'$ من $x^{3} y' + y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $x^{3} y'$ .

$y' x^{3} + y' = - 3 x^{2} y + 5$

خطوة 5.2.2

ارفع $y'$ إلى القوة $1$ .

$y' x^{3} + y' = - 3 x^{2} y + 5$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $y'$ من ${y'}^{1}$ .

$y' x^{3} + y' \cdot 1 = - 3 x^{2} y + 5$

خطوة 5.2.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' x^{3} + y' \cdot 1$ .

$y' (x^{3} + 1) = - 3 x^{2} y + 5$

خطوة 5.3

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$y' (x^{3} + 1^{3}) = - 3 x^{2} y + 5$

خطوة 5.4

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة مجموع مكعبين، $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$y' ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = - 3 x^{2} y + 5$

خطوة 5.5

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y' ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = - 3 x^{2} y + 5$

خطوة 5.5.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y' ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = - 3 x^{2} y + 5$

خطوة 5.5.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$

خطوة 5.6

اقسِم كل حد في $y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$ على $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اقسِم كل حد في $y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$ على $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{y' (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

خطوة 5.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

خطوة 5.6.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

خطوة 5.6.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} - x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

خطوة 5.6.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

خطوة 5.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$