حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x - 1}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x - 1}$ في صورة ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ هو $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ حيث $f (y) = 1$ و $g (y) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

خطوة 4.2.2

اضرب الأُسس في ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

خطوة 4.2.2.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

اضرب ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ في $0$ .

$\frac{0 - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.2.4.2

اطرح $\frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ من $0$ .

$\frac{- \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.2.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{\frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{\frac{1}{3}}$ و $g (y) = x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 1$ .

$- \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$- \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.5

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.7.2

اطرح $3$ من $1$ .

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.8.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$- \frac{\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.8.3

انقُل ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.10

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x' + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x' + 0)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.12

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

أضف $x'$ و $0$ .

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} x'}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.12.2

اجمع $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ و $x'$ .

$- \frac{\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.13

أعِد كتابة $\frac{\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ في صورة حاصل ضرب.

$- (\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

خطوة 4.14

اضرب $\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ في $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.15

اضرب ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ في ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.15.1

انقُل ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{x'}{3 ({(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

خطوة 4.15.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

خطوة 4.15.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

خطوة 4.15.4

أضف $2$ و $2$ .

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$1 = - \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$ .

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$

خطوة 6.2

اقسِم كل حد في $- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اقسِم كل حد في $- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 6.2.2.2

اقسِم $\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ على $1$ .

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اقسِم $1$ على $- 1$ .

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = - 1$

خطوة 6.3

اضرب كلا الطرفين في $3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}) = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1

بسّط $\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$3 \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.4.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.4.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x'}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.4.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x'}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.4.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$x' = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$x' = - 3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$

خطوة 7

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - 3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$