حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = {(2 - 3 x)}^{2}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int {(2 - 3 x)}^{2} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = 2 - 3 x$ . إذن $d u = - 3 d x$ ، لذا $- \frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = 2 - 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $2 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 3 x]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 - 3 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

خطوة 3.1.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

خطوة 3.1.3.3

اضرب $- 3$ في $1$ .

$0 - 3$

خطوة 3.1.4

اطرح $3$ من $0$ .

$- 3$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int u^{2} \frac{1}{- 3} d u$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int u^{2} (- \frac{1}{3}) d u$

خطوة 4.2

اجمع $u^{2}$ و $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{u^{2}}{3} d u$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{u^{2}}{3} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{3} \int u^{2} d u)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 3} u^{3} + C$

خطوة 8.2.2

اضرب $3$ في $3$ .

$- \frac{1}{9} u^{3} + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 - 3 x$ .

$- \frac{1}{9} {(2 - 3 x)}^{3} + C$

خطوة 10

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = {(2 - 3 x)}^{2}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{9} {(2 - 3 x)}^{3} + C$