حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{\sqrt{\frac{π}{2}}}^{\sqrt{π}} 9 θ^{3} \cos (θ^{2}) d θ$

خطوة 1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$9 \int_{\sqrt{\frac{π}{2}}}^{\sqrt{π}} θ^{3} \cos (θ^{2}) d θ$

خطوة 2

لنفترض أن $u = θ^{2}$ . إذن $d u = 2 θ d θ$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = θ d θ$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = θ^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d θ}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $θ^{2}$ .

$\frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ هو $n θ^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 θ$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $θ$ في $u = θ^{2}$ .

$u_{lower} = {\sqrt{\frac{π}{2}}}^{2}$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{π}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}})}^{2}$

خطوة 2.3.2

اضرب $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}$

خطوة 2.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

خطوة 2.3.3.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

خطوة 2.3.3.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

خطوة 2.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

خطوة 2.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

خطوة 2.3.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

خطوة 2.3.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

خطوة 2.3.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

خطوة 2.3.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

خطوة 2.3.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

خطوة 2.3.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2})}^{2}$

خطوة 2.3.4

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2})}^{2}$

خطوة 2.3.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{{\sqrt{π \cdot 2}}^{2}}{2^{2}}$

خطوة 2.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

أعِد كتابة ${\sqrt{π \cdot 2}}^{2}$ بالصيغة $π \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{π \cdot 2}$ في صورة ${(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{{({(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

خطوة 2.3.6.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

خطوة 2.3.6.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

خطوة 2.3.6.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

خطوة 2.3.6.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{1}}{2^{2}}$

خطوة 2.3.6.1.5

بسّط.

$u_{lower} = \frac{π \cdot 2}{2^{2}}$

خطوة 2.3.6.2

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{2^{2}}$

خطوة 2.3.7

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{4}$

خطوة 2.3.8

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π)}{4}$

خطوة 2.3.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.3.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.3.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $θ$ في $u = θ^{2}$ .

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

خطوة 2.5

أعِد كتابة ${\sqrt{π}}^{2}$ بالصيغة $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{π}$ في صورة $π^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

خطوة 2.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

خطوة 2.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

خطوة 2.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

خطوة 2.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = π^{1}$

خطوة 2.5.5

بسّط.

$u_{upper} = π$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$9 \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u$ .

$9 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u}{2} \cos (u) d u$

خطوة 3.2

اجمع $\frac{u}{2}$ و $\cos (u)$ .

$9 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u \cos (u)}{2} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$9 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) d u)$

خطوة 5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $9$ .

$\frac{9}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) d u$

خطوة 6

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int w d v = w v - \int v d w$ ، حيث $w = u$ و $dv = \cos (u)$ .

$\frac{9}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (u) d u)$

خطوة 7

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$\frac{9}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $u \sin (u)$ في $π$ وفي $\frac{π}{2}$ .

$\frac{9}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

خطوة 8.2

احسِب قيمة $- \cos (u)$ في $π$ وفي $\frac{π}{2}$ .

$\frac{9}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اجمع $\sin (\frac{π}{2})$ و $\frac{π}{2}$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

خطوة 8.3.2

لكتابة $- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 8.3.3

اجمع $- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} + \frac{- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

خطوة 8.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

خطوة 8.3.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

خطوة 9.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

خطوة 9.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

خطوة 9.4

أضف $- \cos (π)$ و $0$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π))}{2})$

خطوة 9.5

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

خطوة 9.6

لكتابة $π \sin (π)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} (π \sin (π) \cdot \frac{2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

خطوة 9.7

اجمع $π \sin (π)$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} (\frac{π \sin (π) \cdot 2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

خطوة 9.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{9}{2} \cdot \frac{π \sin (π) \cdot 2 - π + 2 \cos (π)}{2}$

خطوة 9.9

انقُل $2$ إلى يسار $π \sin (π)$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{2 \cdot (π \sin (π)) - π + 2 \cos (π)}{2}$

خطوة 9.10

اضرب $\frac{9}{2}$ في $\frac{2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π)}{2}$ .

$\frac{9 (2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π))}{2 \cdot 2}$

خطوة 9.11

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{9 (2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π))}{4}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{9 (2 π \sin (0) - π + 2 \cos (π))}{4}$

خطوة 10.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{9 (2 π \cdot 0 - π + 2 \cos (π))}{4}$

خطوة 10.3

اضرب $2 π \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اضرب $0$ في $2$ .

$\frac{9 (0 π - π + 2 \cos (π))}{4}$

خطوة 10.3.2

اضرب $0$ في $π$ .

$\frac{9 (0 - π + 2 \cos (π))}{4}$

خطوة 10.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$\frac{9 (0 - π + 2 (- \cos (0)))}{4}$

خطوة 10.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{9 (0 - π + 2 (- 1 \cdot 1))}{4}$

خطوة 10.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{9 (0 - π + 2 \cdot - 1)}{4}$

خطوة 10.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{9 (0 - π - 2)}{4}$

خطوة 10.8

اطرح $π$ من $0$ .

$\frac{9 (- π - 2)}{4}$

خطوة 10.9

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{9 (- π) + 9 \cdot - 2}{4}$

خطوة 10.10

اضرب $- 1$ في $9$ .

$\frac{- 9 π + 9 \cdot - 2}{4}$

خطوة 10.11

اضرب $9$ في $- 2$ .

$\frac{- 9 π - 18}{4}$

خطوة 10.12

أخرِج العامل $- 1$ من $- 9 π$ .

$\frac{- (9 π) - 18}{4}$

خطوة 10.13

أعِد كتابة $- 18$ بالصيغة $- 1 (18)$ .

$\frac{- (9 π) - 1 (18)}{4}$

خطوة 10.14

أخرِج العامل $- 1$ من $- (9 π) - 1 (18)$ .

$\frac{- (9 π + 18)}{4}$

خطوة 10.15

أعِد كتابة $- (9 π + 18)$ بالصيغة $- 1 (9 π + 18)$ .

$\frac{- 1 (9 π + 18)}{4}$

خطوة 10.16

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{9 π + 18}{4}$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{9 π + 18}{4}$

الصيغة العشرية:

$- 11.56858347 \dots$