حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$- x y^{3} - x = 4 y^{3} + 4$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (- x y^{3} - x) = \frac{d}{d x} (4 y^{3} + 4)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x y^{3} - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y^{3}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$- (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$- (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$- (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.2.6

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$- (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.2.7

اضرب $y^{3}$ في $1$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) - \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) - 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) - 1$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- (3 x y^{2} y') - y^{3} - 1$

خطوة 2.4.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 x y^{2} y' - y^{3} - 1$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' - 1$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 y^{3} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2.4

اضرب $3$ في $4$ .

$12 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$12 y^{2} y' + 0$

خطوة 3.3.2

أضف $12 y^{2} y'$ و $0$ .

$12 y^{2} y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' - 1 = 12 y^{2} y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $12 y^{2} y'$ من كلا المتعادلين.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' - 1 - 12 y^{2} y' = 0$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $y^{3}$ إلى كلا المتعادلين.

$- 3 y^{2} x y' - 1 - 12 y^{2} y' = y^{3}$

خطوة 5.2.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$- 3 y^{2} x y' - 12 y^{2} y' = y^{3} + 1$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $3 y^{2} y'$ من $- 3 y^{2} x y' - 12 y^{2} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $3 y^{2} y'$ من $- 3 y^{2} x y'$ .

$3 y^{2} y' (- 1 x) - 12 y^{2} y' = y^{3} + 1$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $3 y^{2} y'$ من $- 12 y^{2} y'$ .

$3 y^{2} y' (- 1 x) + 3 y^{2} y' \cdot - 4 = y^{3} + 1$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $3 y^{2} y'$ من $3 y^{2} y' (- 1 x) + 3 y^{2} y' \cdot - 4$ .

$3 y^{2} y' (- 1 x - 4) = y^{3} + 1$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$3 y^{2} y' (- x - 4) = y^{3} + 1$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $3 y^{2} y' (- x - 4) = y^{3} + 1$ على $3 y^{2} (- x - 4)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $3 y^{2} y' (- x - 4) = y^{3} + 1$ على $3 y^{2} (- x - 4)$ .

$\frac{3 y^{2} y' (- x - 4)}{3 y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y^{2} y' (- x - 4)}{3 y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

خطوة 5.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{2} y' (- x - 4)}{y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

خطوة 5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} y' (- x - 4)}{y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

خطوة 5.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (- x - 4)}{- x - 4} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

خطوة 5.5.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $- x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (- x - 4)}{- x - 4} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

خطوة 5.5.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $y^{3}$ و $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{3}$ .

$y' = \frac{y^{2} y}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

خطوة 5.5.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.2.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $3 y^{2} (- x - 4)$ .

$y' = \frac{y^{2} y}{y^{2} (3 (- x - 4))} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

خطوة 5.5.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{y^{2} y}{y^{2} (3 (- x - 4))} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

خطوة 5.5.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{y}{3 (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$