حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x \sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int x \sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 3.2

اضرب $x$ في $x^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب $x$ في $x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 3.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 3.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 3.2.4

أضف $2$ و $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

خطوة 8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 8.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 8.3

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 8.4

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 8.4.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

خطوة 8.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 10.2

اضرب $- 4$ في $2$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 8 x^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 11

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = x \sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 8 x^{\frac{1}{2}} + C$