حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 1 + e^{2 x}$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + e^{2 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

خطوة 3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

خطوة 3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

خطوة 5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{2 x + x} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

خطوة 6

أضف $2 x$ و $x$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{3 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

خطوة 7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{3 x} (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

خطوة 8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - 2 e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - 2 e^{3 x} \cdot 1}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

خطوة 10

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - 2 e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 e^{x} + e^{2 x} e^{x} - 2 e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

خطوة 11.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$\frac{e^{x} + e^{2 x} e^{x} - 2 e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

خطوة 11.2.1.2

اضرب $e^{2 x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{e^{x} + e^{2 x + x} - 2 e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

خطوة 11.2.1.2.2

أضف $2 x$ و $x$ .

$\frac{e^{x} + e^{3 x} - 2 e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

خطوة 11.2.2

اطرح $2 e^{3 x}$ من $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{x} - e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$