حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 42 x^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{1}{2} x^{4} + 42 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{2} x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.4

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.5

اجمع $\frac{- 4}{2}$ و $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.6.2.4

اقسِم $- 2 x^{3}$ على $1$ .

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [42 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $42$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $42 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $42 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{3} + 42 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 2 x^{3} + 42 (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $42$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 84 x$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 2 x^{3} + 84 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [84 x]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [84 x]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $3$ في $- 2$ .

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [84 x]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [84 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $84$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $84 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $84 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{2} + 84 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 6 x^{2} + 84 \cdot 1$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $84$ في $1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 84$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 6 x^{2} + 84$ .

$- 6 x^{2} + 84$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 6 x^{2} + 84 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 6 x^{2} + 84 = 0$

خطوة 2.2

اطرح $84$ من كلا المتعادلين.

$- 6 x^{2} = - 84$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $- 6 x^{2} = - 84$ على $- 6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $- 6 x^{2} = - 84$ على $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 84}{- 6}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 84}{- 6}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 84}{- 6}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $- 84$ على $- 6$ .

$x^{2} = 14$

خطوة 2.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{14}$

خطوة 2.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{14}$

خطوة 2.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{14}$

خطوة 2.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{14}, - \sqrt{14}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $\sqrt{14}$ في $f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 42 x^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\sqrt{14}$ في العبارة.

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot {(\sqrt{14})}^{4} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

أعِد كتابة ${\sqrt{14}}^{4}$ بالصيغة $14^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{14}$ في صورة $14^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot {(14^{\frac{1}{2}})}^{4} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{4}{2}} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2}{1}} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.1.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{2} + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2

ارفع $14$ إلى القوة $2$ .

$f (\sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 196 + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f (\sqrt{14}) = \frac{- 1}{2} \cdot 196 + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.3.2

أخرِج العامل $2$ من $196$ .

$f (\sqrt{14}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (98)) + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt{14}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 98) + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt{14}) = - 1 \cdot 98 + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.4

اضرب $- 1$ في $98$ .

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 {(\sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{14}}^{2}$ بالصيغة $14$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{14}$ في صورة $14^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 {(14^{\frac{1}{2}})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

خطوة 3.1.2.1.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14^{\frac{2}{2}}$

خطوة 3.1.2.1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14^{\frac{2}{2}}$

خطوة 3.1.2.1.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14$

خطوة 3.1.2.1.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14$

خطوة 3.1.2.1.6

اضرب $42$ في $14$ .

$f (\sqrt{14}) = - 98 + 588$

خطوة 3.1.2.2

أضف $- 98$ و $588$ .

$f (\sqrt{14}) = 490$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $490$ .

$490$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\sqrt{14}$ في $f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 42 x^{2}$ هي $(\sqrt{14}, 490)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\sqrt{14}, 490)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $- \sqrt{14}$ في $f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 42 x^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \sqrt{14}$ في العبارة.

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot {(- \sqrt{14})}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{14}$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot ({(- 1)}^{4} {\sqrt{14}}^{4}) + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.2

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.1

انقُل ${(- 1)}^{4}$ .

$f (- \sqrt{14}) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 (\frac{1}{2})) \cdot {\sqrt{14}}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.2.2

اضرب ${(- 1)}^{4}$ في $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $1$ .

$f (- \sqrt{14}) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) (\frac{1}{2})) \cdot {\sqrt{14}}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (- \sqrt{14}) = {(- 1)}^{4 + 1} (\frac{1}{2}) \cdot {\sqrt{14}}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.2.3

أضف $4$ و $1$ .

$f (- \sqrt{14}) = {(- 1)}^{5} (\frac{1}{2}) \cdot {\sqrt{14}}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $5$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot {\sqrt{14}}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4

أعِد كتابة ${\sqrt{14}}^{4}$ بالصيغة $14^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{14}$ في صورة $14^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot {(14^{\frac{1}{2}})}^{4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{4}{2}} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{\frac{2}{1}} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 14^{2} + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.5

ارفع $14$ إلى القوة $2$ .

$f (- \sqrt{14}) = - \frac{1}{2} \cdot 196 + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.6.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f (- \sqrt{14}) = \frac{- 1}{2} \cdot 196 + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.6.2

أخرِج العامل $2$ من $196$ .

$f (- \sqrt{14}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (98)) + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \sqrt{14}) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 98) + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \sqrt{14}) = - 1 \cdot 98 + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.7

اضرب $- 1$ في $98$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 {(- \sqrt{14})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.8

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{14}$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{14}}^{2})$

خطوة 3.3.2.1.9

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 (1 {\sqrt{14}}^{2})$

خطوة 3.3.2.1.10

اضرب ${\sqrt{14}}^{2}$ في $1$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 {\sqrt{14}}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.11

أعِد كتابة ${\sqrt{14}}^{2}$ بالصيغة $14$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.11.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{14}$ في صورة $14^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 {(14^{\frac{1}{2}})}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.11.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.1.11.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14^{\frac{2}{2}}$

خطوة 3.3.2.1.11.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.11.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14^{\frac{2}{2}}$

خطوة 3.3.2.1.11.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14$

خطوة 3.3.2.1.11.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 42 \cdot 14$

خطوة 3.3.2.1.12

اضرب $42$ في $14$ .

$f (- \sqrt{14}) = - 98 + 588$

خطوة 3.3.2.2

أضف $- 98$ و $588$ .

$f (- \sqrt{14}) = 490$

خطوة 3.3.2.3

الإجابة النهائية هي $490$ .

$490$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- \sqrt{14}$ في $f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 42 x^{2}$ هي $(- \sqrt{14}, 490)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- \sqrt{14}, 490)$

خطوة 3.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(\sqrt{14}, 490), (- \sqrt{14}, 490)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - \sqrt{14}) \cup (- \sqrt{14}, \sqrt{14}) \cup (\sqrt{14}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \sqrt{14})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3.84165738$ في العبارة.

$f'' (- 3.84165738) = - 6 {(- 3.84165738)}^{2} + 84$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 3.84165738$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 3.84165738) = - 6 \cdot 14.75833147 + 84$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 6$ في $14.75833147$ .

$f'' (- 3.84165738) = - 88.54998886 + 84$

خطوة 5.2.2

أضف $- 88.54998886$ و $84$ .

$f'' (- 3.84165738) = - 4.54998886$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 4.54998886$ .

$- 4.54998886$

خطوة 5.3

المشتق الثاني عند $- 3.84165738$ يساوي $- 4.54998886$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - \sqrt{14})$

تناقص خلال $(- \infty, - \sqrt{14})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \sqrt{14}, \sqrt{14})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = - 6 {(0)}^{2} + 84$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = - 6 \cdot 0 + 84$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 6$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 + 84$

خطوة 6.2.2

أضف $0$ و $84$ .

$f'' (0) = 84$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $84$ .

$84$

خطوة 6.3

في $0$ ، المشتق الثاني هو $84$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \sqrt{14}, \sqrt{14})$ .

تزايد خلال $(- \sqrt{14}, \sqrt{14})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\sqrt{14}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3.84165738$ في العبارة.

$f'' (3.84165738) = - 6 {(3.84165738)}^{2} + 84$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $3.84165738$ إلى القوة $2$ .

$f'' (3.84165738) = - 6 \cdot 14.75833147 + 84$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 6$ في $14.75833147$ .

$f'' (3.84165738) = - 88.54998886 + 84$

خطوة 7.2.2

أضف $- 88.54998886$ و $84$ .

$f'' (3.84165738) = - 4.54998886$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 4.54998886$ .

$- 4.54998886$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $3.84165738$ يساوي $- 4.54998886$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(\sqrt{14}, \infty)$

تناقص خلال $(\sqrt{14}, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- \sqrt{14}, 490), (\sqrt{14}, 490)$ .

$(- \sqrt{14}, 490), (\sqrt{14}, 490)$

خطوة 9