حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{\cos^{4} (x)}$

خطوة 1

اكتب $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{1}{\cos^{4} (x)}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{4} (x)} d x$

خطوة 4

حوّل من $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ إلى $\sec^{4} (x)$ .

$\int \sec^{4} (x) d x$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $4$ في صورة $2$ زائد $2$

$\int {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

خطوة 5.2

أعِد كتابة ${\sec (x)}^{2 + 2}$ بالصيغة $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

خطوة 6

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sec^{2} (x)$ بحيث تصبح $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

خطوة 7

لنفترض أن $u = \tan (x)$ . إذن $d u = \sec^{2} (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = \tan (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 7.1.2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int 1 + u^{2} d u$

خطوة 8

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d u + \int u^{2} d u$

خطوة 9

طبّق قاعدة الثابت.

$u + C + \int u^{2} d u$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

خطوة 11

بسّط.

$u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

خطوة 13

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{1}{\cos^{4} (x)}$ .

$F (x) =$ $\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$