حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \sin (3 x)}{1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.2.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.2.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.2.5

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.2.6

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1 - \cos (0) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.2.6.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1 - \cos (0) + \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.2.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.2.7.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 - 1 + \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.2.7.1.3

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{1 - 1 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.2.7.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.2.7.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.2.7.3

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.3.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.3.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.3.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة المماس متصلة.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} 2 x)}$

خطوة 1.1.3.5

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 1.1.3.6

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.6.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 1.1.3.6.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0) + \tan (2 \cdot 0)}$

خطوة 1.1.3.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.7.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 + \tan (2 \cdot 0)}$

خطوة 1.1.3.7.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 + \tan (2 \cdot 0)}$

خطوة 1.1.3.7.1.3

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 + \tan (0)}$

خطوة 1.1.3.7.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 + 0}$

خطوة 1.1.3.7.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

خطوة 1.1.3.7.3

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.7.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.8

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \sin (3 x)}{1 - \cos (x) + \tan (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \cos (x) + \sin (3 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.4.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.4.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.4.4

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.5.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.5.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.5.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.5.4

اضرب $3$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.5.5

انقُل $3$ إلى يسار $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.6

أضف $0$ و $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \cos (x) + \tan (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.8

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.9

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.9.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.9.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.9.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.9.4

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.10

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.10.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \tan (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.10.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

خطوة 1.3.10.1.2

مشتق $\tan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

خطوة 1.3.10.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

خطوة 1.3.10.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

خطوة 1.3.10.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)}$

خطوة 1.3.10.4

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + \sec^{2} (2 x) \cdot 2}$

خطوة 1.3.10.5

انقُل $2$ إلى يسار $\sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{0 + \sin (x) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

خطوة 1.3.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.11.1

أضف $0$ و $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\sin (x) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

خطوة 1.3.11.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.11.2.1

أعِد كتابة $\sec (2 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\sin (x) + 2 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2}}$

خطوة 1.3.11.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\sin (x) + 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)}}$

خطوة 1.3.11.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\sin (x) + 2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x)}}$

خطوة 1.3.11.2.4

اجمع $2$ و $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\sin (x) + \frac{2}{\cos^{2} (2 x)}}$

خطوة 1.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

لكتابة $\sin (x)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{\cos^{2} (2 x)}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} + \frac{2}{\cos^{2} (2 x)}}$

خطوة 1.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 3 \cos (3 x)}{\frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

خطوة 2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

خطوة 2.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

خطوة 2.4

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

خطوة 2.5

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

خطوة 2.6

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{\cos^{2} (2 x)}}$

خطوة 2.7

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (2 x) + 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

خطوة 2.8

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

خطوة 2.9

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

خطوة 2.10

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

خطوة 2.11

انقُل الأُس $2$ من $\cos^{2} (2 x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (2 x))}^{2} + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

خطوة 2.12

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

خطوة 2.13

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

خطوة 2.14

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}}$

خطوة 2.15

انقُل الأُس $2$ من $\cos^{2} (2 x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{{(lim_{x \to 0} \cos (2 x))}^{2}}}$

خطوة 2.16

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} 2 x)}}$

خطوة 2.17

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\sin (0) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

خطوة 3.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

خطوة 3.4

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

خطوة 3.5

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}{\cos^{2} (2 \cdot 0)}}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{\cos^{2} (2 \cdot 0)}{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}$

خطوة 4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $2$ في $0$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{\cos^{2} (0)}{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}$

خطوة 4.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1^{2}}{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}$

خطوة 4.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{\sin (0) \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}$

خطوة 4.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{0 \cdot \cos^{2} (2 \cdot 0) + 2}$

خطوة 4.3.2

اضرب $2$ في $0$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{0 \cdot \cos^{2} (0) + 2}$

خطوة 4.3.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{0 \cdot 1^{2} + 2}$

خطوة 4.3.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{0 \cdot 1 + 2}$

خطوة 4.3.5

اضرب $0$ في $1$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{0 + 2}$

خطوة 4.3.6

أضف $0$ و $2$ .

$(\sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{2}$

خطوة 4.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$(0 + 3 \cos (3 \cdot 0)) \frac{1}{2}$

خطوة 4.4.2

اضرب $3$ في $0$ .

$(0 + 3 \cos (0)) \frac{1}{2}$

خطوة 4.4.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$(0 + 3 \cdot 1) \frac{1}{2}$

خطوة 4.4.4

اضرب $3$ في $1$ .

$(0 + 3) \frac{1}{2}$

خطوة 4.5

أضف $0$ و $3$ .

$3 (\frac{1}{2})$

خطوة 4.6

اجمع $3$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{3}{2}$

الصيغة العشرية:

$1.5$