حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x - 6}{4 x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x - 6}{4 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x - 6$ و $g (x) = x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.3.3

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.3.4.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 1.3.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$

خطوة 1.3.6.2

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$ .

$\frac{x - (x - 6)}{4 x^{2}}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x - x - - 6}{4 x^{2}}$

خطوة 1.4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{0 - - 6}{4 x^{2}}$

خطوة 1.4.2.2

اطرح $- 6$ من $0$ .

$\frac{- - 6}{4 x^{2}}$

خطوة 1.4.2.3

اضرب $- 1$ في $- 6$ .

$\frac{6}{4 x^{2}}$

خطوة 1.4.3

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 (3)}{4 x^{2}}$

خطوة 1.4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (3)}{2 (2 x^{2})}$

خطوة 1.4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (2 x^{2})}$

خطوة 1.4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = \frac{3}{2 x^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3}{2 x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

خطوة 2.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

خطوة 2.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

خطوة 2.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

$\frac{3}{2} (- 2 x^{- 3})$

خطوة 2.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اجمع $- 2$ و $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x^{- 3}$

خطوة 2.4.2

اضرب $- 2$ في $3$ .

$\frac{- 6}{2} x^{- 3}$

خطوة 2.4.3

اجمع $\frac{- 6}{2}$ و $x^{- 3}$ .

$\frac{- 6 x^{- 3}}{2}$

خطوة 2.4.4

انقُل $x^{- 3}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 6}{2 x^{3}}$

خطوة 2.4.5

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 x^{3}}$

خطوة 2.4.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{3}$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{3})}$

خطوة 2.4.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 x^{3}}$

خطوة 2.4.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 3}{x^{3}}$

خطوة 2.4.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{3}{x^{3}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{3}{x^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

خطوة 3.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{3}}$ بالصيغة ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

خطوة 3.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

خطوة 3.2.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 3$ .

$- 3 (- 3 x^{- 4})$

خطوة 3.4

اضرب $- 3$ في $- 3$ .

$9 x^{- 4}$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \frac{1}{x^{4}}$

خطوة 3.5.2

اجمع $9$ و $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{9}{x^{4}}$