حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x + 13}}{x - 4}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 1} - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + 1} - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

خطوة 1.1.2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $4$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 1} - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

خطوة 1.1.2.4

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 1} - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

خطوة 1.1.2.5

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $4$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1} - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

خطوة 1.1.2.6

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1} - \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

خطوة 1.1.2.7

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $4$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1} - \sqrt{lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

خطوة 1.1.2.8

احسِب قيمة حد $13$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $4$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1} - \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

خطوة 1.1.2.9

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.9.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $4$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} + 1} - \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

خطوة 1.1.2.9.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $4$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} + 1} - \sqrt{4 + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

خطوة 1.1.2.10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.10.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.10.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 1} - \sqrt{4 + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

خطوة 1.1.2.10.1.2

أضف $16$ و $1$ .

$\frac{\sqrt{17} - \sqrt{4 + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

خطوة 1.1.2.10.1.3

أضف $4$ و $13$ .

$\frac{\sqrt{17} - \sqrt{17}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

خطوة 1.1.2.10.2

اطرح $\sqrt{17}$ من $\sqrt{17}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 4}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}$

خطوة 1.1.3.1.2

احسِب قيمة حد $4$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

خطوة 1.1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $4$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

خطوة 1.1.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

خطوة 1.1.3.3.2

اطرح $4$ من $4$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x + 13}}{x - 4} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x + 13}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 1}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 1}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 1}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + 1}$ في صورة ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2} + 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2} + 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.3.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.3.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.3.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.3.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.3.9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.3.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.3.11

أضف $2 x$ و $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.3.12

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.3.13

اجمع $2$ و $\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.3.14

اجمع $\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.3.15

انقُل ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.3.16

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.3.17

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x + 13}$ في صورة ${(x + 13)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.4.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [{(x + 13)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [{(x + 13)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x + 13$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x + 13$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 13])}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 13])}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.4.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x + 13$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 13])}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.4.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 13$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [13]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [13]))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [13]))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.4.6

بما أن $13$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $13$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.4.7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.4.8

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.4.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.4.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.10.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.4.10.2

اطرح $2$ من $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.4.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.4.12

أضف $1$ و $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.4.13

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x + 13)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(x + 13)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.4.14

اضرب $\frac{{(x + 13)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ في $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(x + 13)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.4.15

انقُل ${(x + 13)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

خطوة 1.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

خطوة 1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

خطوة 1.3.7

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

خطوة 1.3.8

أضف $1$ و $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

خطوة 1.4

حوّل الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد كتابة ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{1}{2 {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة ${(x + 13)}^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{x + 13}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 13}}}{1}$

خطوة 1.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

لكتابة $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 \sqrt{x + 13}}{2 \sqrt{x + 13}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{2 \sqrt{x + 13}}{2 \sqrt{x + 13}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 13}}}{1}$

خطوة 1.5.2

لكتابة $- \frac{1}{2 \sqrt{x + 13}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{2 \sqrt{x + 13}}{2 \sqrt{x + 13}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 13}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{1}$

خطوة 1.5.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $\sqrt{x^{2} + 1} \cdot 2 \sqrt{x + 13}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اضرب $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ في $\frac{2 \sqrt{x + 13}}{2 \sqrt{x + 13}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x (2 \sqrt{x + 13})}{\sqrt{x^{2} + 1} (2 \sqrt{x + 13})} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 13}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{1}$

خطوة 1.5.3.2

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x (2 \sqrt{x + 13})}{2 \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 13}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{1}$

خطوة 1.5.3.3

اضرب $\frac{1}{2 \sqrt{x + 13}}$ في $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x (2 \sqrt{x + 13})}{2 \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}} - \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{2 \sqrt{x + 13} \sqrt{x^{2} + 1}}}{1}$

خطوة 1.5.3.4

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x (2 \sqrt{x + 13})}{2 \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}} - \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{2 \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}}{1}$

خطوة 1.5.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x (2 \sqrt{x + 13}) - \sqrt{x^{2} + 1}}{2 \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}}{1}$

خطوة 1.6

اقسِم $\frac{x (2 \sqrt{x + 13}) - \sqrt{x^{2} + 1}}{2 \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$ على $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{x (2 \sqrt{x + 13}) - \sqrt{x^{2} + 1}}{2 \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 4} \frac{x (2 \sqrt{x + 13}) - \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

خطوة 2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 4} x \cdot 2 \sqrt{x + 13} - \sqrt{x^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

خطوة 2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 4} x \cdot 2 \sqrt{x + 13} - lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

خطوة 2.4

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \sqrt{x + 13} - lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

خطوة 2.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x + 13} - lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

خطوة 2.6

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

خطوة 2.7

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 13} - lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

خطوة 2.8

احسِب قيمة حد $13$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

خطوة 2.9

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

خطوة 2.10

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

خطوة 2.11

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

خطوة 2.12

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

خطوة 2.13

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{lim_{x \to 4} (x^{2} + 1) (x + 13)}}$

خطوة 2.14

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + 1 \cdot lim_{x \to 4} x + 13}}$

خطوة 2.15

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{(lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 1) \cdot lim_{x \to 4} x + 13}}$

خطوة 2.16

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{({(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 1) \cdot lim_{x \to 4} x + 13}}$

خطوة 2.17

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{({(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1) \cdot lim_{x \to 4} x + 13}}$

خطوة 2.18

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{({(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 13)}}$

خطوة 2.19

احسِب قيمة حد $13$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{({(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x + 13)}}$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4 \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{({(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x + 13)}}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4 \cdot \sqrt{4 + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{({(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x + 13)}}$

خطوة 3.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4 \cdot \sqrt{4 + 13} - \sqrt{4^{2} + 1}}{\sqrt{({(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x + 13)}}$

خطوة 3.4

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4 \cdot \sqrt{4 + 13} - \sqrt{4^{2} + 1}}{\sqrt{(4^{2} + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x + 13)}}$

خطوة 3.5

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4 \cdot \sqrt{4 + 13} - \sqrt{4^{2} + 1}}{\sqrt{(4^{2} + 1) \cdot (4 + 13)}}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8 \cdot \sqrt{4 + 13} - \sqrt{4^{2} + 1}}{\sqrt{(4^{2} + 1) \cdot (4 + 13)}}$

خطوة 4.1.2

أضف $4$ و $13$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8 \cdot \sqrt{17} - \sqrt{4^{2} + 1}}{\sqrt{(4^{2} + 1) \cdot (4 + 13)}}$

خطوة 4.1.3

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8 \sqrt{17} - \sqrt{16 + 1}}{\sqrt{(4^{2} + 1) \cdot (4 + 13)}}$

خطوة 4.1.4

أضف $16$ و $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8 \sqrt{17} - \sqrt{17}}{\sqrt{(4^{2} + 1) \cdot (4 + 13)}}$

خطوة 4.1.5

اطرح $\sqrt{17}$ من $8 \sqrt{17}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \sqrt{17}}{\sqrt{(4^{2} + 1) \cdot (4 + 13)}}$

خطوة 4.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \sqrt{17}}{\sqrt{(16 + 1) (4 + 13)}}$

خطوة 4.2.2

أضف $16$ و $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \sqrt{17}}{\sqrt{17 (4 + 13)}}$

خطوة 4.2.3

أضف $4$ و $13$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \sqrt{17}}{\sqrt{17 \cdot 17}}$

خطوة 4.2.4

اضرب $17$ في $17$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \sqrt{17}}{\sqrt{289}}$

خطوة 4.2.5

أعِد كتابة $289$ بالصيغة $17^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \sqrt{17}}{\sqrt{17^{2}}}$

خطوة 4.2.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \sqrt{17}}{17}$

خطوة 4.3

اضرب $\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \sqrt{17}}{17}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{7 \sqrt{17}}{17}$ .

$\frac{7 \sqrt{17}}{2 \cdot 17}$

خطوة 4.3.2

اضرب $2$ في $17$ .

$\frac{7 \sqrt{17}}{34}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{7 \sqrt{17}}{34}$

الصيغة العشرية:

$0.84887468 \dots$