حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{{(x^{3} - 2 x)}^{3}}{x^{3}} d x$

خطوة 1

انقُل $x^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(x^{3} - 2 x)}^{3} {(x^{3})}^{- 1} d x$

خطوة 2

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x^{3} - 2 x)}^{3} x^{3 \cdot - 1} d x$

خطوة 2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\int {(x^{3} - 2 x)}^{3} x^{- 3} d x$

خطوة 3

وسّع ${(x^{3} - 2 x)}^{3} x^{- 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$\int ({(x^{3})}^{3} + 3 {(x^{3})}^{2} (- 2 x) + 3 x^{3} {(- 2 x)}^{2} + {(- 2 x)}^{3}) x^{- 3} d x$

خطوة 3.2

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\int (x^{3} {(x^{3})}^{2} + 3 {(x^{3})}^{2} (- 2 x) + 3 x^{3} {(- 2 x)}^{2} + {(- 2 x)}^{3}) x^{- 3} d x$

خطوة 3.3

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 {(x^{3})}^{2} (- 2 x) + 3 x^{3} {(- 2 x)}^{2} + {(- 2 x)}^{3}) x^{- 3} d x$

خطوة 3.4

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) + 3 x^{3} {(- 2 x)}^{2} + {(- 2 x)}^{3}) x^{- 3} d x$

خطوة 3.5

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) + {(- 2 x)}^{3}) x^{- 3} d x$

خطوة 3.6

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) - 2 x {(- 2 x)}^{2}) x^{- 3} d x$

خطوة 3.7

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) - 2 x (- 2 x (- 2 x))) x^{- 3} d x$

خطوة 3.8

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x))) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

خطوة 3.9

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x)) x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

خطوة 3.10

طبّق خاصية التوزيع.

$\int x^{3} (x^{3} x^{3}) x^{- 3} + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

خطوة 3.11

انقُل $x^{3}$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 x^{3} \cdot - 2 x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

خطوة 3.12

انقُل $x^{3}$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

خطوة 3.13

انقُل $x$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 \cdot - 2 x \cdot x) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

خطوة 3.14

انقُل الأقواس.

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 \cdot - 2 x) x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

خطوة 3.15

انقُل الأقواس.

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 \cdot - 2) x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

خطوة 3.16

انقُل $x^{3}$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

خطوة 3.17

انقُل $x$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 \cdot - 2 x \cdot x) x^{- 3} d x$

خطوة 3.18

انقُل الأقواس.

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 \cdot - 2 x) x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.19

انقُل الأقواس.

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 \cdot - 2) x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.20

انقُل $x$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.21

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{3 + 3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.22

أضف $3$ و $3$ .

$\int x^{6} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.23

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{6 + 3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.24

أضف $6$ و $3$ .

$\int x^{9} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.25

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{9 - 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.26

اطرح $3$ من $9$ .

$\int x^{6} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.27

اضرب $3$ في $- 2$ .

$\int x^{6} - 6 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.28

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{6} - 6 x^{3 + 3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.29

أضف $3$ و $3$ .

$\int x^{6} - 6 x^{6} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.30

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int x^{6} - 6 (x^{6} x^{1}) x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.31

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{6} - 6 x^{6 + 1} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.32

أضف $6$ و $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{7} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.33

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{6} - 6 x^{7 - 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.34

اطرح $3$ من $7$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.35

اضرب $3$ في $- 2$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} - 6 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.36

اضرب $- 6$ في $- 2$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.37

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 (x^{3} x^{1}) x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.38

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{3 + 1} x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.39

أضف $3$ و $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{4} x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.40

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 (x^{4} x^{1}) x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.41

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{4 + 1} x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.42

أضف $4$ و $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{5} x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.43

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{5 - 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.44

اطرح $3$ من $5$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.45

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} + 4 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.46

اضرب $4$ في $- 2$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.47

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 (x^{1} x) x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.48

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 (x^{1} x^{1}) x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.49

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{1 + 1} x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.50

أضف $1$ و $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{2} x \cdot x^{- 3} d x$

خطوة 3.51

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 (x^{2} x^{1}) x^{- 3} d x$

خطوة 3.52

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{2 + 1} x^{- 3} d x$

خطوة 3.53

أضف $2$ و $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{3} x^{- 3} d x$

خطوة 3.54

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{3 - 3} d x$

خطوة 3.55

اطرح $3$ من $3$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{0} d x$

خطوة 3.56

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 \cdot 1 d x$

خطوة 3.57

اضرب $- 8$ في $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x^{6} d x + \int - 6 x^{4} d x + \int 12 x^{2} d x + \int - 8 d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int - 6 x^{4} d x + \int 12 x^{2} d x + \int - 8 d x$

خطوة 6

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 6$ خارج التكامل.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 \int x^{4} d x + \int 12 x^{2} d x + \int - 8 d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 12 x^{2} d x + \int - 8 d x$

خطوة 8

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $12$ خارج التكامل.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 \int x^{2} d x + \int - 8 d x$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 8 d x$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 x + C$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 x + C$

خطوة 11.1.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 12 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 8 x + C$

خطوة 11.2

بسّط.

$\frac{x^{7}}{7} - \frac{6 x^{5}}{5} + 4 x^{3} - 8 x + C$

خطوة 12

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{7} x^{7} - \frac{6}{5} x^{5} + 4 x^{3} - 8 x + C$