حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{9 x^{7}}{x^{8} + 9} d x$

خطوة 1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$9 \int \frac{x^{7}}{x^{8} + 9} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = x^{8} + 9$ . إذن $d u = 8 x^{7} d x$ ، لذا $\frac{1}{8} d u = x^{7} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = x^{8} + 9$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $x^{8} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8} + 9]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{8} + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 8$ .

$8 x^{7} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.1.4

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$8 x^{7} + 0$

خطوة 2.1.5

أضف $8 x^{7}$ و $0$ .

$8 x^{7}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$9 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{8}$ .

$9 \int \frac{1}{u \cdot 8} d u$

خطوة 3.2

انقُل $8$ إلى يسار $u$ .

$9 \int \frac{1}{8 u} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$9 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 5

اجمع $\frac{1}{8}$ و $9$ .

$\frac{9}{8} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{9}{8} (\ln (| u |) + C)$

خطوة 7

بسّط.

$\frac{9}{8} \ln (| u |) + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{8} + 9$ .

$\frac{9}{8} \ln (| x^{8} + 9 |) + C$