حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - x^{2}}{\ln (x)}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - x^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

خطوة 1.1.2.3

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

خطوة 1.1.2.4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{\sqrt{1} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

خطوة 1.1.2.4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{\sqrt{1} - 1^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

خطوة 1.1.2.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1.1

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\frac{1 - 1^{2}}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

خطوة 1.1.2.5.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

خطوة 1.1.2.5.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

خطوة 1.1.2.5.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x)}$

خطوة 1.1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

خطوة 1.1.3.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - x^{2}}{\ln (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sqrt{x} - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 1.3.3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 1.3.3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 1.3.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 1.3.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 1.3.3.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 1.3.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 1.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 1.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (2 x)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 1.3.4.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 1.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 x}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 1.3.5.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 1.3.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 1.3.6

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x}}$

خطوة 1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to 1} (- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x$

خطوة 1.5

أعِد كتابة $x^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} (- 2 x + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) x$

خطوة 1.6

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

لكتابة $- 2 x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} (- 2 x \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) x$

خطوة 1.6.2

اجمع $- 2 x$ و $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} (\frac{- 2 x (2 \sqrt{x})}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) x$

خطوة 1.6.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x (2 \sqrt{x}) + 1}{2 \sqrt{x}} x$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x (2 \sqrt{x}) + 1}{2 \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

خطوة 2.2

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{- 2 x (2 \sqrt{x}) + 1}{\sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

خطوة 2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} - 2 x \cdot 2 \sqrt{x} + 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

خطوة 2.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 1} 2 x \cdot 2 \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

خطوة 2.5

انقُل الحد $2 \cdot 2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

خطوة 2.6

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

خطوة 2.7

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

خطوة 2.8

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

خطوة 2.9

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot lim_{x \to 1} x$

خطوة 3.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot lim_{x \to 1} x$

خطوة 3.4

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $- 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

خطوة 4.1.1.2

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

خطوة 4.1.1.3

اضرب $- 4$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cdot \sqrt{1} + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

خطوة 4.1.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cdot 1 + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

خطوة 4.1.3

اضرب $- 4$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 + 1}{\sqrt{1}} \cdot 1$

خطوة 4.1.4

أضف $- 4$ و $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3}{\sqrt{1}} \cdot 1$

خطوة 4.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 3}{1} \cdot 1$

خطوة 4.3

اقسِم $- 3$ على $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 3 \cdot 1$

خطوة 4.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 3$ .

$\frac{- 3}{2} \cdot 1$

خطوة 4.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{2} \cdot 1$

خطوة 4.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{3}{2}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{3}{2}$

الصيغة العشرية:

$- 1.5$