حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(2 + e^{3 x})}^{2}$

خطوة 1

اكتب ${(2 + e^{3 x})}^{2}$ في صورة دالة.

$f (x) = {(2 + e^{3 x})}^{2}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int {(2 + e^{3 x})}^{2} d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة ${(2 + e^{3 x})}^{2}$ بالصيغة $(2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x})$ .

$\int (2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x}) d x$

خطوة 4.2

وسّع $(2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 2 (2 + e^{3 x}) + e^{3 x} (2 + e^{3 x}) d x$

خطوة 4.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 2 \cdot 2 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} (2 + e^{3 x}) d x$

خطوة 4.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 2 \cdot 2 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 2 + e^{3 x} e^{3 x} d x$

خطوة 4.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\int 4 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 2 + e^{3 x} e^{3 x} d x$

خطوة 4.3.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $e^{3 x}$ .

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 \cdot e^{3 x} + e^{3 x} e^{3 x} d x$

خطوة 4.3.1.3

اضرب $e^{3 x}$ في $e^{3 x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.3.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} + e^{3 x + 3 x} d x$

خطوة 4.3.1.3.2

أضف $3 x$ و $3 x$ .

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} + e^{6 x} d x$

خطوة 4.3.2

أضف $2 e^{3 x}$ و $2 e^{3 x}$ .

$\int 4 + 4 e^{3 x} + e^{6 x} d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 4 d x + \int 4 e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$4 x + C + \int 4 e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

خطوة 7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 x + C + 4 \int e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

خطوة 8

لنفترض أن $u_{1} = 3 x$ . إذن $d u_{1} = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u_{1} = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 8.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 8.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$4 x + C + 4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

خطوة 9

اجمع $e^{u_{1}}$ و $\frac{1}{3}$ .

$4 x + C + 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$4 x + C + 4 (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{6 x} d x$

خطوة 11

اجمع $\frac{1}{3}$ و $4$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

خطوة 12

تكامل $e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $e^{u_{1}}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{6 x} d x$

خطوة 13

لنفترض أن $u_{2} = 6 x$ . إذن $d u_{2} = 6 d x$ ، لذا $\frac{1}{6} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

افترض أن $u_{2} = 6 x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

أوجِد مشتقة $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

خطوة 13.1.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 13.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

خطوة 13.1.4

اضرب $6$ في $1$ .

$6$

خطوة 13.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{6} d u_{2}$

خطوة 14

اجمع $e^{u_{2}}$ و $\frac{1}{6}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{e^{u_{2}}}{6} d u_{2}$

خطوة 15

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{6} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 16

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{6} (e^{u_{2}} + C)$

خطوة 17

بسّط.

$4 x + \frac{4}{3} e^{u_{1}} + \frac{1}{6} e^{u_{2}} + C$

خطوة 18

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 x$ .

$4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{u_{2}} + C$

خطوة 18.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $6 x$ .

$4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$

خطوة 19

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = {(2 + e^{3 x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$