حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{2 x^{2}} d x$

خطوة 1

اكتب التكامل في صورة نهاية عند اقتراب $t$ من $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{2 x^{2}} d x$

خطوة 2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 3.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 3.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} x^{- 2} d x$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} - x^{- 1}]_{1}^{t}$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- x^{- 1}]_{1}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- x^{- 1}]_{1}^{t}}{2}$

خطوة 5.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

احسِب قيمة $- x^{- 1}$ في $t$ وفي $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(- t^{- 1}) + 1^{- 1}}{2}$

خطوة 5.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$lim_{t \to \infty} \frac{- t^{- 1} + 1}{2}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- t^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1}) + 1}{2}$

خطوة 5.3.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1}) - 1 (- 1)}{2}$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (t^{- 1}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1} - 1)}{2}$

خطوة 5.3.4

أعِد كتابة $- (t^{- 1} - 1)$ بالصيغة $- 1 (t^{- 1} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (t^{- 1} - 1)}{2}$

خطوة 5.3.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t^{- 1} - 1}{2}$

خطوة 6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{t^{- 1} - 1}{2}$

خطوة 6.2

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} t^{- 1} - 1$

خطوة 6.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} t^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 6.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 6.5

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{t}$ يقترب من $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 6.6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 6.6.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

خطوة 6.6.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

خطوة 6.6.2.3

اضرب $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

خطوة 6.6.2.3.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.5$