حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{4} - 2 x^{3} - 12 x^{2} + 9 x - 16}{x + 3} d x$

خطوة 1

اقسِم $x^{4} - 2 x^{3} - 12 x^{2} + 9 x - 16$ على $x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

خطوة 1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{4}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

خطوة 1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

خطوة 1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{4} + 3 x^{3}$

				$x^{3}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$9 x$	-	$16$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$

خطوة 1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{3}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$9 x$	-	$16$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$

خطوة 1.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{3}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$9 x$	-	$16$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

خطوة 1.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 5 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$9 x$	-	$16$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

خطوة 1.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$9 x$	-	$16$
			-	$x^{4}$	-	$3 x^{3}$
					-	$5 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$

خطوة 1.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 5 x^{3} - 15 x^{2}$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

خطوة 1.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

خطوة 1.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

خطوة 1.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $3 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

خطوة 1.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

خطوة 1.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $3 x^{2} + 9 x$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

خطوة 1.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

خطوة 1.16

أخرِج الحد التالي من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$9 x$

$16$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$5 x^{3}$

$12 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$9 x$

$3 x^{2}$

$9 x$

$0$

$16$

خطوة 1.17

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int x^{3} - 5 x^{2} + 3 x - \frac{16}{x + 3} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x^{3} d x + \int - 5 x^{2} d x + \int 3 x d x + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 5 x^{2} d x + \int 3 x d x + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

خطوة 4

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 5$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 \int x^{2} d x + \int 3 x d x + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 3 x d x + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

خطوة 6

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 \int x d x + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{16}{x + 3} d x$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int \frac{16}{x + 3} d x$

خطوة 9

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $16$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (16 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (16 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

خطوة 10.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) - (16 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

خطوة 11

لنفترض أن $u = x + 3$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

افترض أن $u = x + 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

أوجِد مشتقة $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

خطوة 11.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 11.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 11.1.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 11.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 11.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) - (16 \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 12

اضرب $16$ في $- 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 16 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 13

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 16 (\ln (| u |) + C)$

خطوة 14

بسّط.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{5 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - 16 \ln (| u |) + C$

خطوة 15

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 3$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{5 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - 16 \ln (| x + 3 |) + C$

خطوة 16

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{5}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 16 \ln (| x + 3 |) + C$