حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$

خطوة 1

اكتب $e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$ في صورة دالة.

$f (x) = e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)}) d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب في $1$ .

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x) \cdot 1}) d x$

خطوة 4.1.2

افصِل الكسور.

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}) d x$

خطوة 4.1.3

حوّل من $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ إلى $\sec^{2} (x)$ .

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{1} \sec^{2} (x)) d x$

خطوة 4.1.4

اقسِم $e^{- x}$ على $1$ .

$\int e^{x} (2 + e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int e^{x} \cdot 2 + e^{x} (e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

خطوة 4.3

انقُل $2$ إلى يسار $e^{x}$ .

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{x} (e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

خطوة 4.4

اضرب $e^{x}$ في $e^{- x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

انقُل $e^{- x}$ .

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{- x} e^{x} \sec^{2} (x) d x$

خطوة 4.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{- x + x} \sec^{2} (x) d x$

خطوة 4.4.3

أضف $- x$ و $x$ .

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{0} \sec^{2} (x) d x$

خطوة 4.5

بسّط $e^{0} \sec^{2} (x)$ .

$\int 2 e^{x} + \sec^{2} (x) d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 2 e^{x} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

خطوة 6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int e^{x} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

خطوة 7

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$2 (e^{x} + C) + \int \sec^{2} (x) d x$

خطوة 8

بما أن مشتق $\tan (x)$ هو $\sec^{2} (x)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (x)$ هو $\tan (x)$ .

$2 (e^{x} + C) + \tan (x) + C$

خطوة 9

بسّط.

$2 e^{x} + \tan (x) + C$

خطوة 10

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$ .

$F (x) =$ $2 e^{x} + \tan (x) + C$