حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$

خطوة 1

اكتب ${(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$ في صورة دالة.

$f (x) = {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2} d x$

خطوة 4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x^{2} + 1}{x}$ .

$\int \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

خطوة 5

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 6

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} x^{- 2} d x$

خطوة 7

وسّع ${(x^{2} + 1)}^{2} x^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة ${(x^{2} + 1)}^{2}$ بالصيغة $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\int (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x^{- 2} d x$

خطوة 7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x^{- 2} d x$

خطوة 7.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

خطوة 7.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1) x^{- 2} + (1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

خطوة 7.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot 1 x^{- 2} + (1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

خطوة 7.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot 1 x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

خطوة 7.8

أعِد ترتيب $x^{2}$ و $1$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

خطوة 7.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{2 + 2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

خطوة 7.10

أضف $2$ و $2$ .

$\int x^{4} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

خطوة 7.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{4 - 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

خطوة 7.12

اطرح $2$ من $4$ .

$\int x^{2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

خطوة 7.13

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$\int x^{2} + x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

خطوة 7.14

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{2} + x^{2 - 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

خطوة 7.15

اطرح $2$ من $2$ .

$\int x^{2} + x^{0} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

خطوة 7.16

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

خطوة 7.17

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$\int x^{2} + 1 + x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

خطوة 7.18

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{2} + 1 + x^{2 - 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

خطوة 7.19

اطرح $2$ من $2$ .

$\int x^{2} + 1 + x^{0} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

خطوة 7.20

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

خطوة 7.21

اضرب $1$ في $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + 1 x^{- 2} d x$

خطوة 7.22

اضرب $x^{- 2}$ في $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + x^{- 2} d x$

خطوة 7.23

أضف $1$ و $1$ .

$\int x^{2} + 2 + x^{- 2} d x$

خطوة 7.24

أعِد ترتيب $2$ و $x^{- 2}$ .

$\int x^{2} + x^{- 2} + 2 d x$

خطوة 8

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x^{2} d x + \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + \int 2 d x$

خطوة 11

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + 2 x + C$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط.

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

خطوة 12.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

خطوة 13

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$