حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $- \frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{3} x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.4

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.5

اجمع $\frac{- 3}{3}$ و $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.6.2.4

اقسِم $- x^{2}$ على $1$ .

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- x^{2} - 9 (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 9$ .

$f' (x) = - x^{2} - 18 x$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{2} - 18 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 18 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x - 18 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 x - 18 \cdot 1$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $- 18$ في $1$ .

$f'' (x) = - 2 x - 18$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 2 x - 18$ .

$- 2 x - 18$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 2 x - 18 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 2 x - 18 = 0$

خطوة 2.2

أضف $18$ إلى كلا المتعادلين.

$- 2 x = 18$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $- 2 x = 18$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $- 2 x = 18$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{18}{- 2}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{18}{- 2}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{18}{- 2}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $18$ على $- 2$ .

$x = - 9$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $- 9$ في $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 9$ في العبارة.

$f (- 9) = - \frac{1}{3} \cdot {(- 9)}^{3} - 9 {(- 9)}^{2}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ارفع $- 9$ إلى القوة $3$ .

$f (- 9) = - \frac{1}{3} \cdot - 729 - 9 {(- 9)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{3}$ إلى بسط الكسر.

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot - 729 - 9 {(- 9)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2.2

أخرِج العامل $3$ من $- 729$ .

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 243)) - 9 {(- 9)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 243) - 9 {(- 9)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 9) = - 1 \cdot - 243 - 9 {(- 9)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.3

اضرب $- 1$ في $- 243$ .

$f (- 9) = 243 - 9 {(- 9)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.4

اضرب $- 9$ في ${(- 9)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.4.1

اضرب $- 9$ في ${(- 9)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.4.1.1

ارفع $- 9$ إلى القوة $1$ .

$f (- 9) = 243 + (- 9) {(- 9)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (- 9) = 243 + {(- 9)}^{1 + 2}$

خطوة 3.1.2.1.4.2

أضف $1$ و $2$ .

$f (- 9) = 243 + {(- 9)}^{3}$

خطوة 3.1.2.1.5

ارفع $- 9$ إلى القوة $3$ .

$f (- 9) = 243 - 729$

خطوة 3.1.2.2

اطرح $729$ من $243$ .

$f (- 9) = - 486$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $- 486$ .

$- 486$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 9$ في $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ هي $(- 9, - 486)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 9, - 486)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 9)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 9.1$ في العبارة.

$f'' (- 9.1) = - 2 \cdot - 9.1 - 18$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $- 2$ في $- 9.1$ .

$f'' (- 9.1) = 18.2 - 18$

خطوة 5.2.2

اطرح $18$ من $18.2$ .

$f'' (- 9.1) = 0.2$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $0.2$ .

$0.2$

خطوة 5.3

في $- 9.1$ ، المشتق الثاني هو $0.2$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - 9)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 9)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 9, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 8.9$ في العبارة.

$f'' (- 8.9) = - 2 \cdot - 8.9 - 18$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $- 2$ في $- 8.9$ .

$f'' (- 8.9) = 17.8 - 18$

خطوة 6.2.2

اطرح $18$ من $17.8$ .

$f'' (- 8.9) = - 0.2$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.2$ .

$- 0.2$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 8.9$ يساوي $- 0.2$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- 9, \infty)$

تناقص خلال $(- 9, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 9, - 486)$ .

$(- 9, - 486)$

خطوة 8