حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} (e^{t} + 5 e^{5 t}) d t$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$\int_{0}^{1} e^{t} + 5 e^{5 t} d t$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{1} e^{t} d t + \int_{0}^{1} 5 e^{5 t} d t$

خطوة 3

تكامل $e^{t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $e^{t}$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 5 e^{5 t} d t$

خطوة 4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{1} e^{5 t} d t$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 5 t$ . إذن $d u = 5 d t$ ، لذا $\frac{1}{5} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 5 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [5 t]$

خطوة 5.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $5 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$5$

خطوة 5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = 5 t$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

خطوة 5.3

اضرب $5$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = 5 t$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

خطوة 5.5

اضرب $5$ في $1$ .

$u_{upper} = 5$

خطوة 5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

خطوة 5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{5} e^{u} \frac{1}{5} d u$

خطوة 6

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{5}$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{5} \frac{e^{u}}{5} d u$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 (\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $5$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + \frac{5}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u$

خطوة 8.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{t}]_{0}^{1} + \frac{5}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u$

خطوة 8.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{t}]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{5} e^{u} d u$

خطوة 8.3

اضرب $\int_{0}^{5} e^{u} d u$ في $1$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + \int_{0}^{5} e^{u} d u$

خطوة 9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + e^{u}]_{0}^{5}$

خطوة 10

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احسِب قيمة $e^{t}$ في $1$ وفي $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + e^{u}]_{0}^{5}$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $e^{u}$ في $5$ وفي $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + (e^{5}) - e^{0}$

خطوة 10.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

بسّط.

$e - e^{0} + (e^{5}) - e^{0}$

خطوة 10.3.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$e - 1 \cdot 1 + (e^{5}) - e^{0}$

خطوة 10.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e - 1 + (e^{5}) - e^{0}$

خطوة 10.3.4

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$e - 1 + e^{5} - 1 \cdot 1$

خطوة 10.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e - 1 + e^{5} - 1$

خطوة 10.3.6

اطرح $1$ من $- 1$ .

$e + e^{5} - 2$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$e + e^{5} - 2$

الصيغة العشرية:

$149.13144093 \dots$

خطوة 12