حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{3} \frac{2 + y e^{y}}{y} d y$

خطوة 1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} + \frac{y e^{y}}{y} d y$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} \frac{y e^{y}}{y} d y$

خطوة 3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} \frac{y e^{y}}{y} d y$

خطوة 3.2

اقسِم $e^{y}$ على $1$ .

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

خطوة 4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{1}^{3} \frac{1}{y} d y + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

خطوة 6

تكامل $e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $e^{y}$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{3}) + e^{y}]_{1}^{3}$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

احسِب قيمة $\ln (| y |)$ في $3$ وفي $1$ .

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |)) + e^{y}]_{1}^{3}$

خطوة 7.1.2

احسِب قيمة $e^{y}$ في $3$ وفي $1$ .

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) + e^{3} - e^{1}$

خطوة 7.1.3

بسّط.

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) + e^{3} - e$

خطوة 7.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) + e^{3} - e$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $3$ تساوي $3$ .

$2 \ln (\frac{3}{| 1 |}) + e^{3} - e$

خطوة 7.3.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$2 \ln (\frac{3}{1}) + e^{3} - e$

خطوة 7.3.3

اقسِم $3$ على $1$ .

$2 \ln (3) + e^{3} - e$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$2 \ln (3) + e^{3} - e$

الصيغة العشرية:

$19.56447967 \dots$

خطوة 9