حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{2}{{(3 x + 2)}^{5}}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{2}{{(3 x + 2)}^{5}} d x$

خطوة 3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{1}{{(3 x + 2)}^{5}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = 3 x + 2$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = 3 x + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 4.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 + 0$

خطوة 4.1.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$3$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u^{5}} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $\frac{1}{u^{5}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$2 \int \frac{1}{u^{5} \cdot 3} d u$

خطوة 5.2

انقُل $3$ إلى يسار $u^{5}$ .

$2 \int \frac{1}{3 u^{5}} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{5}} d u)$

خطوة 7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $2$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u^{5}} d u$

خطوة 7.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

انقُل $u^{5}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

خطوة 7.2.2

اضرب الأُسس في ${(u^{5})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \int u^{5 \cdot - 1} d u$

خطوة 7.2.2.2

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int u^{- 5} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 5}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة $\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$ بالصيغة $\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}}) + C$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}}) + C$

خطوة 9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اضرب $\frac{1}{u^{4}}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{u^{4} \cdot 4}) + C$

خطوة 9.2.2

انقُل $4$ إلى يسار $u^{4}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{4 \cdot u^{4}}) + C$

خطوة 9.2.3

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{1}{4 u^{4}}$ .

$- \frac{2}{3 (4 u^{4})} + C$

خطوة 9.2.4

اضرب $4$ في $3$ .

$- \frac{2}{12 u^{4}} + C$

خطوة 9.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{2 (1)}{12 u^{4}} + C$

خطوة 9.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $12 u^{4}$ .

$- \frac{2 (1)}{2 (6 u^{4})} + C$

خطوة 9.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (6 u^{4})} + C$

خطوة 9.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{6 u^{4}} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x + 2$ .

$- \frac{1}{6 {(3 x + 2)}^{4}} + C$

خطوة 11

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{2}{{(3 x + 2)}^{5}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{6 {(3 x + 2)}^{4}} + C$