حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{{(4 + 2 \sqrt{x})}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 1.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 1.3

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 1.4

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 1.4.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

خطوة 1.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ . إذن $d u = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$ ، لذا $- d u = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + 2 x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 2.1.3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 2.1.3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 2.1.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 2.1.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 2.1.3.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 2.1.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 2.1.3.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 2.1.3.9

اجمع $2$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 2.1.3.10

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.1.3.11

ألغِ العامل المشترك.

$0 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.1.3.12

أعِد كتابة العبارة.

$0 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.1.4

أضف $0$ و $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int u^{2} d u$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

خطوة 4

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{3} + C$