حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$5 x^{2} (x + 47)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{2} (x + 47)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 47)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 47)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x + 47$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [x + 47] + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 47$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [47]$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [47]) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [47]) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.3.3

بما أن $47$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $47$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$5 (x^{2} (1 + 0) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$5 (x^{2} \cdot 1 + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.3.4.2

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$5 (x^{2} + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$5 (x^{2} + (x + 47) (2 x))$

خطوة 1.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $x + 47$ .

$5 (x^{2} + 2 \cdot (x + 47) x)$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 (x^{2} + (2 x + 2 \cdot 47) x)$

خطوة 1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$5 (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 47 x)$

خطوة 1.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} + 5 (2 x \cdot x) + 5 (2 \cdot 47 x)$

خطوة 1.4.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$5 x^{2} + 5 (2 (x^{1} x)) + 5 (2 \cdot 47 x)$

خطوة 1.4.4.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$5 x^{2} + 5 (2 (x^{1} x^{1})) + 5 (2 \cdot 47 x)$

خطوة 1.4.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$5 x^{2} + 5 (2 x^{1 + 1}) + 5 (2 \cdot 47 x)$

خطوة 1.4.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$5 x^{2} + 5 (2 x^{2}) + 5 (2 \cdot 47 x)$

خطوة 1.4.4.5

اضرب $2$ في $5$ .

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 5 (2 \cdot 47 x)$

خطوة 1.4.4.6

اضرب $2$ في $47$ .

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 5 (94 x)$

خطوة 1.4.4.7

اضرب $94$ في $5$ .

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 470 x$

خطوة 1.4.4.8

أضف $5 x^{2}$ و $10 x^{2}$ .

$f' (x) = 15 x^{2} + 470 x$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $15 x^{2} + 470 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $15 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [470 x]$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $15$ .

$30 x + \frac{d}{d x} [470 x]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [470 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $470$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $470 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $470 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x + 470 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$30 x + 470 \cdot 1$

خطوة 2.3.3

اضرب $470$ في $1$ .

$f'' (x) = 30 x + 470$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $30 x + 470$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [470]$ .

$\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [470]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [30 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $30$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $30 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [470]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [470]$

خطوة 3.2.3

اضرب $30$ في $1$ .

$30 + \frac{d}{d x} [470]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $470$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $470$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$30 + 0$

خطوة 3.3.2

أضف $30$ و $0$ .

$f''' (x) = 30$