حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{15} x^{6} - x^{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{15} x^{6} - x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{6}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $\frac{1}{15}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{15} x^{6}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$\frac{1}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

خطوة 1.1.2.3

اجمع $6$ و $\frac{1}{15}$ .

$\frac{6}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

خطوة 1.1.2.4

اجمع $\frac{6}{15}$ و $x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

خطوة 1.1.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

أخرِج العامل $3$ من $6 x^{5}$ .

$\frac{3 (2 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

خطوة 1.1.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $15$ .

$\frac{3 (2 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

خطوة 1.1.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (2 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

خطوة 1.1.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} - (4 x^{3})$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{5}}{5} - 4 x^{3}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{2 x^{5}}{5} - 4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $\frac{2}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 x^{5}}{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.3

اجمع $5$ و $\frac{2}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.4

اضرب $5$ في $2$ .

$\frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.5

اجمع $\frac{10}{5}$ و $x^{4}$ .

$\frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.6.1

أخرِج العامل $5$ من $10 x^{4}$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.6.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.6.2.4

اقسِم $2 x^{4}$ على $1$ .

$2 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 x^{4} - 4 (3 x^{2})$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $3$ في $- 4$ .

$f'' (x) = 2 x^{4} - 12 x^{2}$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{4} - 12 x^{2}$ .

$2 x^{4} - 12 x^{2}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $2 x^{4} - 12 x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x^{4} - 12 x^{2} = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 {(x^{2})}^{2} - 12 x^{2} = 0$

خطوة 2.2.2

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$2 u^{2} - 12 u = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $2 u$ من $2 u^{2} - 12 u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أخرِج العامل $2 u$ من $2 u^{2}$ .

$2 u (u) - 12 u = 0$

خطوة 2.2.3.2

أخرِج العامل $2 u$ من $- 12 u$ .

$2 u (u) + 2 u (- 6) = 0$

خطوة 2.2.3.3

أخرِج العامل $2 u$ من $2 u (u) + 2 u (- 6)$ .

$2 u (u - 6) = 0$

خطوة 2.2.4

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$2 x^{2} (x^{2} - 6) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 2.4.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 2.4.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x^{2} - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 6 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 6 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 6$

خطوة 2.5.2.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{6}$

خطوة 2.5.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{6}$

خطوة 2.5.2.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{6}$

خطوة 2.5.2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 x^{2} (x^{2} - 6) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} - x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{1}{15} \cdot {(0)}^{6} - {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{1}{15} \cdot 0 - {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $\frac{1}{15}$ في $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 - 0$

خطوة 3.1.2.1.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

خطوة 3.1.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} - x^{4}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $\sqrt{6}$ في $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} - x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\sqrt{6}$ في العبارة.

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot {(\sqrt{6})}^{6} - {(\sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

أعِد كتابة ${\sqrt{6}}^{6}$ بالصيغة $6^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{6}$ في صورة $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot {(6^{\frac{1}{2}})}^{6} - {(\sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 6} - {(\sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{\frac{6}{2}} - {(\sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - {(\sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - {(\sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - {(\sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{\frac{3}{1}} - {(\sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.1.4.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{3} - {(\sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.2

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 216 - {(\sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1

أخرِج العامل $3$ من $15$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{3 (5)} \cdot 216 - {(\sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.3.2

أخرِج العامل $3$ من $216$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 72) - {(\sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 72) - {(\sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{5} \cdot 72 - {(\sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.4

اجمع $\frac{1}{5}$ و $72$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} - {(\sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{6}}^{4}$ بالصيغة $6^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{6}$ في صورة $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} - {(6^{\frac{1}{2}})}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

خطوة 3.3.2.1.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{\frac{4}{2}}$

خطوة 3.3.2.1.5.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.5.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

خطوة 3.3.2.1.5.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.5.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

خطوة 3.3.2.1.5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

خطوة 3.3.2.1.5.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{\frac{2}{1}}$

خطوة 3.3.2.1.5.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{2}$

خطوة 3.3.2.1.6

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 1 \cdot 36$

خطوة 3.3.2.1.7

اضرب $- 1$ في $36$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 36$

خطوة 3.3.2.2

لكتابة $- 36$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 36 \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 3.3.2.3

اجمع $- 36$ و $\frac{5}{5}$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} + \frac{- 36 \cdot 5}{5}$

خطوة 3.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\sqrt{6}) = \frac{72 - 36 \cdot 5}{5}$

خطوة 3.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

اضرب $- 36$ في $5$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{72 - 180}{5}$

خطوة 3.3.2.5.2

اطرح $180$ من $72$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{- 108}{5}$

خطوة 3.3.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\sqrt{6}) = - \frac{108}{5}$

خطوة 3.3.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{108}{5}$ .

$- \frac{108}{5}$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\sqrt{6}$ في $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} - x^{4}$ هي $(\sqrt{6}, - \frac{108}{5})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\sqrt{6}, - \frac{108}{5})$

خطوة 3.5

عوّض بقيمة $- \sqrt{6}$ في $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} - x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \sqrt{6}$ في العبارة.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot {(- \sqrt{6})}^{6} - {(- \sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{6}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot ({(- 1)}^{6} {\sqrt{6}}^{6}) - {(- \sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $6$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot (1 {\sqrt{6}}^{6}) - {(- \sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.3

اضرب ${\sqrt{6}}^{6}$ في $1$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot {\sqrt{6}}^{6} - {(- \sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4

أعِد كتابة ${\sqrt{6}}^{6}$ بالصيغة $6^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{6}$ في صورة $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot {(6^{\frac{1}{2}})}^{6} - {(- \sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 6} - {(- \sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{\frac{6}{2}} - {(- \sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - {(- \sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.4.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - {(- \sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - {(- \sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{\frac{3}{1}} - {(- \sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.4.4.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{3} - {(- \sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.5

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 216 - {(- \sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.6.1

أخرِج العامل $3$ من $15$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{3 (5)} \cdot 216 - {(- \sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.6.2

أخرِج العامل $3$ من $216$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 72) - {(- \sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 72) - {(- \sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{5} \cdot 72 - {(- \sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.7

اجمع $\frac{1}{5}$ و $72$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - {(- \sqrt{6})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.8

طبّق قاعدة الضرب على $- \sqrt{6}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - ({(- 1)}^{4} {\sqrt{6}}^{4})$

خطوة 3.5.2.1.9

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.9.1

انقُل ${(- 1)}^{4}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} + {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 {\sqrt{6}}^{4})$

خطوة 3.5.2.1.9.2

اضرب ${(- 1)}^{4}$ في $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.9.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $1$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} + {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) {\sqrt{6}}^{4})$

خطوة 3.5.2.1.9.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} + {(- 1)}^{4 + 1} {\sqrt{6}}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.9.3

أضف $4$ و $1$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} + {(- 1)}^{5} {\sqrt{6}}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.10

ارفع $- 1$ إلى القوة $5$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - {\sqrt{6}}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.11

أعِد كتابة ${\sqrt{6}}^{4}$ بالصيغة $6^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.11.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{6}$ في صورة $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - {(6^{\frac{1}{2}})}^{4}$

خطوة 3.5.2.1.11.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

خطوة 3.5.2.1.11.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{\frac{4}{2}}$

خطوة 3.5.2.1.11.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.11.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

خطوة 3.5.2.1.11.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.11.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

خطوة 3.5.2.1.11.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

خطوة 3.5.2.1.11.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{\frac{2}{1}}$

خطوة 3.5.2.1.11.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{2}$

خطوة 3.5.2.1.12

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 1 \cdot 36$

خطوة 3.5.2.1.13

اضرب $- 1$ في $36$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 36$

خطوة 3.5.2.2

لكتابة $- 36$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 36 \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 3.5.2.3

اجمع $- 36$ و $\frac{5}{5}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} + \frac{- 36 \cdot 5}{5}$

خطوة 3.5.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72 - 36 \cdot 5}{5}$

خطوة 3.5.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.5.1

اضرب $- 36$ في $5$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72 - 180}{5}$

خطوة 3.5.2.5.2

اطرح $180$ من $72$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 108}{5}$

خطوة 3.5.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \sqrt{6}) = - \frac{108}{5}$

خطوة 3.5.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{108}{5}$ .

$- \frac{108}{5}$

خطوة 3.6

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- \sqrt{6}$ في $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} - x^{4}$ هي $(- \sqrt{6}, - \frac{108}{5})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- \sqrt{6}, - \frac{108}{5})$

خطوة 3.7

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (\sqrt{6}, - \frac{108}{5}), (- \sqrt{6}, - \frac{108}{5})$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, 0) \cup (0, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \sqrt{6})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2.54948974$ في العبارة.

$f'' (- 2.54948974) = 2 {(- 2.54948974)}^{4} - 12 {(- 2.54948974)}^{2}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 2.54948974$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 2.54948974) = 2 \cdot 42.24867334 - 12 {(- 2.54948974)}^{2}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $2$ في $42.24867334$ .

$f'' (- 2.54948974) = 84.49734668 - 12 {(- 2.54948974)}^{2}$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $- 2.54948974$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 2.54948974) = 84.49734668 - 12 \cdot 6.49989794$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $- 12$ في $6.49989794$ .

$f'' (- 2.54948974) = 84.49734668 - 77.99877538$

خطوة 5.2.2

اطرح $77.99877538$ من $84.49734668$ .

$f'' (- 2.54948974) = 6.4985713$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $6.4985713$ .

$6.4985713$

خطوة 5.3

في $- 2.54948974$ ، المشتق الثاني هو $6.4985713$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - \sqrt{6})$ .

تزايد خلال $(- \infty, - \sqrt{6})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \sqrt{6}, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.22474487$ في العبارة.

$f'' (- 1.22474487) = 2 {(- 1.22474487)}^{4} - 12 {(- 1.22474487)}^{2}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 1.22474487$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 1.22474487) = 2 \cdot 2.25 - 12 {(- 1.22474487)}^{2}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $2$ في $2.25$ .

$f'' (- 1.22474487) = 4.5 - 12 {(- 1.22474487)}^{2}$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 1.22474487$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.22474487) = 4.5 - 12 \cdot 1.5$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $- 12$ في $1.5$ .

$f'' (- 1.22474487) = 4.5 - 18$

خطوة 6.2.2

اطرح $18$ من $4.5$ .

$f'' (- 1.22474487) = - 13.5$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 13.5$ .

$- 13.5$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 1.22474487$ يساوي $- 13.5$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \sqrt{6}, 0)$

تناقص خلال $(- \sqrt{6}, 0)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \sqrt{6})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.22474487$ في العبارة.

$f'' (1.22474487) = 2 {(1.22474487)}^{4} - 12 {(1.22474487)}^{2}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $1.22474487$ إلى القوة $4$ .

$f'' (1.22474487) = 2 \cdot 2.25 - 12 {(1.22474487)}^{2}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $2$ في $2.25$ .

$f'' (1.22474487) = 4.5 - 12 {(1.22474487)}^{2}$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $1.22474487$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.22474487) = 4.5 - 12 \cdot 1.5$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $- 12$ في $1.5$ .

$f'' (1.22474487) = 4.5 - 18$

خطوة 7.2.2

اطرح $18$ من $4.5$ .

$f'' (1.22474487) = - 13.5$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 13.5$ .

$- 13.5$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $1.22474487$ يساوي $- 13.5$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(0, \sqrt{6})$

تناقص خلال $(0, \sqrt{6})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(\sqrt{6}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.54948974$ في العبارة.

$f'' (2.54948974) = 2 {(2.54948974)}^{4} - 12 {(2.54948974)}^{2}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $2.54948974$ إلى القوة $4$ .

$f'' (2.54948974) = 2 \cdot 42.24867334 - 12 {(2.54948974)}^{2}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $2$ في $42.24867334$ .

$f'' (2.54948974) = 84.49734668 - 12 {(2.54948974)}^{2}$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $2.54948974$ إلى القوة $2$ .

$f'' (2.54948974) = 84.49734668 - 12 \cdot 6.49989794$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $- 12$ في $6.49989794$ .

$f'' (2.54948974) = 84.49734668 - 77.99877538$

خطوة 8.2.2

اطرح $77.99877538$ من $84.49734668$ .

$f'' (2.54948974) = 6.4985713$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $6.4985713$ .

$6.4985713$

خطوة 8.3

في $2.54948974$ ، المشتق الثاني هو $6.4985713$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(\sqrt{6}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\sqrt{6}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- \sqrt{6}, - \frac{108}{5}), (\sqrt{6}, - \frac{108}{5})$ .

$(- \sqrt{6}, - \frac{108}{5}), (\sqrt{6}, - \frac{108}{5})$

خطوة 10